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09考研农学数学真题、标准答案及解析

09考研农学数学真题、标准答案及解析

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2009 年全国硕士研究生入学统一考试 农学门类联考数学试题
下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求, 一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求, 选择题: ~ 小题, 把所选项前的字母填在题后的括号内. 把所选项前的字母填在题后的括号内 (1)在 ( ?π , π ) 内,函数 y =

x 的可去间断点的个数为( tan x



( A) .0
【答案】 ( D ) 【解析】 y =

( B) . 1

( C ) .2

( D ) .3

x tan x x x = 0 , lim = 1 , x = 0 为可去间断点; x → 0 tan x
x=±

π
2

, lim
x →±

π
2

x π = 0 , x = ± 为可去间断点.故共 3 个,选 ( D ) . tan x 2


(2)函数 y = ln(1 + x 2 ) 的单调增加图形为凹的区间是(

( A) . (?∞, ?1)
【答案】 ( C ) 【解析】

( B ) . (?1, 0)

( C ) . (0,1)

( D ) . (1, +∞)

y′ = y′′ =

2x >0? x>0 1 + x2

(1 + x2 )

2

2

? (1 + x ? x ? 2 x ) =
2

2 (1 ? x 2 )

(1 + x2 )

2

> 0 ? ?1 < x < 1

取交集得: x ∈ ( 0,1) ,选 ( C ) . (3)函数 f ( x ) =



x ? x2

0

e ? t dt 的极值点为 x = (
2



( A) .

1 2

( B) .

1 4

(C ) . ?

1 4

( D) . ?

1 2

【答案】 ( A ) 【解析】因 f ' ( x ) = e 令f
'
? x ? x2

(

) ? x ? x 2 ' = 1 ? 2 x e ?( x ? x ) ( ) ( )
2 2

2

( x ) = 0 ,得 x =

1 ,又 2

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( f ( x ) = ? 2e
''

? x ? x2

) + 1 ? 2 x ? e ?( x ? x ) ? ? ? x ? x 2 2 ? ' = ? ? 2 + 2(1 ? 2 x) 2 ? ( x ? x 2 ? e ?( x ? x ) ( ) )? ? ? ? (
2 2 2 2

2

?

?

得 f '' ?

1 ?1? ? ≠ 0 ,故 x = 为极值点,应选 ( A) . 2 ?2?

(4)设区域 D = ( x, y ) x ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 x, y ≥ 0 ,则在极坐标下二重积分

{

}

∫∫ xydxdy = (



( A) ∫02 dθ ∫cosθ ( C ) ∫0 dθ ∫cosθ
【答案】 ( B )
π

π

2cosθ

r 2 cos θ sin θ dr

( B ) ∫02 dθ ∫cosθ ( D ) ∫0 dθ ∫cosθ
π

π

2cosθ

r 3 cos θ sin θ dr

2cosθ

r 2 cos θ sin θ dr

2cosθ

r 3 cos θ sin θ dr

2 cos θ 2 cos θ 3 【解析】原积分 = ∫ 2 dθ ∫ r cos θ ? r sin θ ? rdr = ∫ 2 dθ ∫ r cos θ sin θ dr . cos θ cos θ 0 0

π

π

2 1 ? ?1 ? ? (5)设矩阵 A = 2 ab + 4 2 ? 的秩为 2 ,则( ? ?2 ? 4 a + 2? ?



( A) . a = 0, b = 0 ( B ) .
【答案】 ( C )

a = 0, b ≠ 0

( C ) . a ≠ 0, b = 0

( D ) . a ≠ 0, b ≠ 0

2 1 ? ?1 0 0? ?1 ? ? ? ? 【解析】 A = 2 ab + 4 2 ? → ? 2 ab 0 ? ? ?2 ? ? 4 a + 2? ? 2 0 a ? ? ? ?1 0 0? ? ? 因为 a = 0 时, r ( A ) = 1 ,所以 a ≠ 0 , A → 0 ab 0 ? ? ?0 0 a? ? ?
因为 r ( A ) = 2 ,所以 b = 0 ,综上 a ≠ 0, b = 0 . (6)设 A 为 3 阶矩阵, A* 为 A 的伴随矩阵, A 的行列式 A = 2 ,则 ?2 A* = ( )

( A) .
【答案】 A

?2

5

( B ) . ?2 3

( C ) . 23

( D ) . 25

【解析】∵ A = 2 又∵ A = A
* n ?1

= A

3?1

= A = 22
2

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∴ ?2 A* = (?2)3 ? A* = (?2)3 ? 2 2 = ?25 .
(7)设事件 A 与事件 B 互不相容, ,则( )

( A) . P = ( A B) = 0 ( C ) . P( A) = 1 ? P( B)
【答案】 ( D )

? ?

( B ) . P = ( AB) = P( A) P( B) ( D ) . P = ( A∪ B) = 1
? ?

【解析】因为 A, B 互不相容,所以 P ( AB ) = 0

( A) P ( AB ) = P ( A ∪ B ) = 1 ? P ( A ∪ B ) ,因为 P ( A ∪ B ) 不一定等于 1,所以 ( A) 不正确

( B ) 当 P ( A), P ( B ) 不为 0 时, ( B ) 不成立,故排除 (C ) 只有当 A, B 互为对立事件的时候才成立,故排除 ( D ) P ( A ∪ B ) = P ( AB ) = 1 ? P ( AB ) = 1 ,故 ( D ) 正确.

(8)设随机变量 X 的分布函数 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ ( 则 EX = ( )

x ?1 ) ,其中 Φ( x) 为标准正态分布的分布函数, 2

( A) . 0
【答案】 ( C )

( B ) . 0.3

( C ) . 0.7

( D ) .1

【解析】因为 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ ? 所以 F ′ ( x ) = 0.3Φ′ ( x ) +
+∞

? x ?1 ? ?, ? 2 ?

0.7 ? x ? 1 ? Φ′ ? ?, 2 ? 2 ?
+∞

所以 EX =



?∞

xF ′ ( x )dx = ∫

?∞

? ? x ? 1 ?? x ? 0.3Φ′ ( x ) + 0.35Φ′ ? ? ?dx ? 2 ?? ?

= 0.3∫

+∞

?∞

xΦ′ ( x ) dx + 0.35∫
+∞

+∞

?∞

? x ?1 ? xΦ′ ? ? dx ? 2 ?





+∞

?∞

xΦ′ ( x ) dx = 0 , ∫

?∞

+∞ x ?1 ? x ?1 ? xΦ′ ? = u 2 ∫ ( 2u + 1) Φ′ ( u ) du = 2 ? dx ?∞ 2 ? 2 ?

所以 EX = 0 + 0.35 × 2 = 0.7 .
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小题, 请将答案写在答题纸指定位置上. 二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上 填空题: (9) lim(1 + sin ) x =
x →0 2

x 3

2

.

【答案】 e 3

x 【解析】 lim(1 + sin ) = lim e x →0 x →0 3

2 x

2 x ln(1+ sin ) x 3

=e

2 x lim ln(1+ sin ) x →0 x 3

2sin

=e

x →0

lim

x 3

2?

x

=e

x→0

lim

x 3 x

=e

2 3

(10)设 f ( x ) = ln(4 x + cos 2 2 x ) ,则 f '( ) =

π

8

.

【答案】

4 π +1
2

【解析】由 f ( x ) = ln(4 x + cos 2 x ) , f ( x ) =
'

1 [ 4 + 2 cos 2 x ? (? sin 2 x) ? 2] 4 x + cos 2 2 x

π 1 ? 2 2 ? 2 4 f '( ) = )? = (4 ? 2) = . × (? ?4 + 4 × π 1? π +1 8 2 2 ? π +1 + 2 2
(11)设 f ( x ) = e 2 x , ? ( x) = ln x ,则 【答案】 【解析】

∫ [ f (? ( x)) + ? ( f ( x))]dx =
1 0

.

4 3

? ( f ( x ) ) = ln e 2 x = 2 x
x3 1 4 2 1 所以原式= ∫ ( x + 2 x ) dx = ( + x ) 0 = + 1 = . 0 3 3 3
1 2

f (? ( x ) ) = e2ln x = x 2 ,

(12)设 f (u , v ) 为二元可微函数, Z = f (sin( x + y ), e xy ) ,则 【答案】 f 1 cos( x + y ) + yf 2 e
' ' xy

?z = __________________ ?x

【解析】根据复合函数求导法得:

?z = f '1 cos( x + y ) + yf '2 e xy . ?x

(13)设向量组 α = (1, 0,1)T , β = (2, k , ?1)T , γ = ( ?1,1, ?4)T 线性相关,则 k = ___________ 【答案】1 【解析】 α = (1, 0,1)T , β = (2, k , ?1)T , γ = ( ?1,1, ?4)T

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? 1 2 ?1 ? ? ? 令A= 0 k 1? ? ? 1 ?1 ?4 ? ? ?
若 α 、 β 、 γ 线性相关,所以则 A = ?3k + 3 = 0 ,∴ k = 1 (14)设总体 X 的概率密度 f ( x, σ ) =
x 1 ?|σ| e ,?∞ < x < +∞ , 其中参数 σ (σ > 0) 未知, 2σ

若 x1 , x2 ,...., xn

? 是来自总体 X 的简单随机样本, σ =
【答案】 【解析】

1 n ∑ | xi | 是 σ 的估计量,则 E (σ? ) = _____________. n ? 1 i =1

n σ n ?1

? Eσ = =

1 n n ∑ E xi = n ? 1 E xi n ? 1 i =1
x

x x t= n +∞ 1 ?σ 2n +∞ x ? σ n +∞ ?t σ x te σ dt ? e dx = ? e dx ??? → ∫?∞ 2σ ∫0 2σ n ?1 n ?1 n ? 1 ∫0 nσ +∞ ? t te σ dt = n ? 1 ∫0 n = σ. n ?1

请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明 三、解答题:15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字说明、证明过程或 解答题: - 小题, 请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字说明、 演算步骤. 演算步骤 (15) (本题满分 10 分)求极限 lim
x →0

x 2 [ x ? ln(1 + tan x)] sin 4 x

.

【解析】 lim
x →0

x 2 [ x ? ln(1 + tan x)] sin 4 x

x 2 x ? ln(1 + tan x) = lim 2 x → 0 sin x sin 2 x

= lim
x →0

x ? ln(1 + tan x) 1 = . sin 2 x 2

(16) (本题满分 10 分)不定积分



ln 2 + x x+2 x

(

)dx .

【解析】令 x = t , x = t 2 , dx = 2tdt 原式=

ln(2 + t ) ln(2 + t ) ? 2tdt = 2 ∫ dt = 2 ∫ ln(2 + t )d ln(2 + t ) = ln 2 (2 + t ) + c = ln 2 (2 + x ) + c 2 t + 2t t+2 2y ,求 L 方程. (17) (本题满分 10 分)曲线 L 过点 (1,1) , L 上任一点 M ( x, y ) ( x > 0) 处法线斜率 x



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【解析】 法线斜率为 ?

1 y′

∴?

1 2y dx 2 y ?? = ? ? xdx = 2 ydy = y′ x dy x 1 ? ? x 2 = y 2 + C1 2
3 2

又由已知条件 y (1) = 1 ? C1 = ?

1 3 ∴ x2 + y 2 ? = 0 2 2 ∴ x = 3 ? 2 y2
(18) (本题满分 11 分) 讨论方程 x ? 4 x + k = 0 实根的个数,其中 k 为参数.
4

【解析】令 f ( x ) = x ? 4 x + k ,则 f ' ( x ) = 4 x 3 ? 4 = 4 ( x ? 1) x 2 + x + 1
4

(

)

∴ 当 x > 1 时, f ' ( x ) > 0 ;当 x < 1 时, f ' ( x ) < 0 ;当 x = 1 时, f ' ( x ) = 0
即 f ( x ) 在 ( ?∞,1) 单调减,在 (1, +∞ ) 单调增,在 x = 1 处取得极小值,且为最小值.从而 ① f (1) = k ? 3 > 0 时,方程无实根; ② f (1) = k ? 3 = 0 时,方程有两个相同的实根; ③ f (1) = k ? 3 < 0 时,由于 lim f ( x ) = +∞ ,根据零点定理可得,方程有两个相异实根.
x →∞

(19) (本题满分 11 分) 计算二重积分

∫∫ x ? 1 dxdy ,其中 D 是第一象限内由直线 y = 0, y = x 及圆
D

x 2 + y 2 = 2 所围成的区域.
【解析】如图所示,则由题可知

∫∫ x ? 1dxdy = ∫∫ ( x ? 1)dxdy + ∫∫ (1 ? x)dxdy
D D1 D2

=∫

2 1

dx ∫

2 ? x2 0

1 x ( x ? 1)dy + ∫ dx ∫ (1 ? x)dy 0 0

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=∫

1 2 ( x ? 1) 2 ? x 2 dx + ∫ x(1 ? x)dx 0 1

5 π 1 π = ( ? ) + = 1? 6 4 6 4
(20) (本题满分 10 分)

2 1 ? ?1 ? ? 设 A = 1 a + 2 a + 1 ,若存在 3 阶非零矩阵 B ,使得 AB = O . ? ? ? ?1 a ? 2 2 a ? 3 ? ? ?
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求方程组 AX = 0 的通解. 【解析】 (I)根据题目条件,知存在 3 阶非零矩阵 B ,使 AB = 0 ,即 AX = 0 有非零解.

1

2

1

1 2

1

∴ A = 0 ,即 1 a + 2 a + 1 = 0 a a = a (a ? 2) = 0 ?1 a ? 2 2 a ? 3 0 a 2 a ? 2
∴a = 0 或 a = 2

?1 2 1? ? (II)当 a = 0 时, A = 1 2 1 ? ,求 AX = 0 的通解. ? ? ? ?1 ?2 ?3? ? ? ? 1 2 1 ? ? 1 2 1 ? ?1 2 0 ? A = ? 1 2 1 ? → ? 0 0 0 ? → ?0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ?2 ?3? ? 0 0 ?2? ?0 0 1 ? ? ? ? ? ? ?
( 取自由未知量 x2 = 1 ,得 ξ1 = [ ?2,1, 0] ,即 AX = 0 的通解 x = k1ξ1 = k1 [ ?2,1, 0] , k1 为任意常数).
T T

? 1 2 1? ? ? 当 a = 2 时, A = 1 4 3 ,求 AX = 0 的通解. ? ? ? ?1 0 1? ? ? ? 1 2 1? ? 1 2 1 ? ? 0 2 2 ? ? 0 1 1 ? A = ? 1 4 3? → ? 0 2 2? → ? 0 2 2 ? → ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1? ? ?1 0 1 ? ? ?1 0 1 ? ? ?1 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
取自由未知量 x3 = 1 ,得 ξ 2 = [1, ?1,1] ,即 AX = 0 的通解 x = k2ξ 2 = k 2 [1, ?1,1] , k 2 为任意常数). (
T T

(21) (本题满分 11 分)

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?0? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 , 1 , ?2 ,对应的特征向量依次为 α1 = 1 , α 2 = 0 , α 3 = 0 . ? ? ? ? ? ? ?0? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?
(Ⅰ)求矩阵 A ; (Ⅱ)求 A
2009

.

?1 0 0 ? ? ? ?1 ?1 【解析】 (I)令 P = (α1 , α 2 , α 3 ) , 则 P AP = Λ = 0 1 0 , 即 A = PΛP , 利用初等行变换求 P , 有 ? ? ?0 0 ?2 ? ? ?
?1

?0 1 1 1 0 0 ? ?1 ( P E ) = ?1 0 0 0 1 0 ? → ? 0 ? ? ? ? 0 1 ?1 0 0 1 ? ? 0 ? ? ? ? ?1 0 ?1 0 0 0 1 0 ? ? ? ? → ? 0 1 1 1 0 0 ? → ?0 1 ? ? 0 0 ?2 ?1 0 1 ? ? ? ? ?0 0 ? ?0 1 1 1 0 0 ? ?1 ( P E ) = ?1 0 0 0 1 0 ? → ? 0 ? ? ? ? 0 1 ?1 0 0 1 ? ? 0 ? ? ? ? ?1 0 ?1 0 0 0 1 0 ? ? ? ? → ? 0 1 1 1 0 0 ? → ?0 1 ? ? 0 0 ?2 ?1 0 1 ? ? ? ? ?0 0 ?

0 0 0 1 0? 1 1 1 0 0? ? 1 ?1 0 0 1 ? ? ? 0 0 1 0 ? ? 1 1 ? 0 0 , 2 2 ? 1 1? 1 0 ? ? 2 2? 0 0 0 1 0? 1 1 1 0 0? ? 1 ?1 0 0 1 ? ? ? 0 0 1 0 ? ? 1 1 ? 0 0 2 2 ? 1 1? 1 0 ? ? 2 2?

? ? ? 1 ?0 1 0 ? ?? 2 ? ? ? 1 1 ? ?1 ?1 即P = ? 0 , A = P ΛP = ? 0 ?2 2 ? ? 3 ?1 1? ? ? 0 ? ? ? 2 ?2 2?
(II)

? ? ? 1 ?. 1? 0 ? ? 2? 0 3 2 0

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∵ A = PΛP ?1 ? ? ?0 1 0 ? 0 ?? ? 0 1 1 ? ?1 0 ? 1 1 ? ?1 0 0 ? ? 0 1 2009 2009 ?1 ∴ A = PΛ P = 0 ?? 0 ? ?? ? ?2 2 ? ?0 1 ?1? ?0 0 ?2 2009 ? ? ? ?? ? 1 1? ? 0 ? ? ?2 2? 1 ? 1 2008 ? 0 + 22008 ? ?2 ?2 2 ? ? =? 0 1 0 ?. ?1 ? 1 2008 ? 2 2008 ? 0 ? +2 2 ?2 ?
(22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) = ? (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 P x < 1 . 【解析】 (1) f ( x ) = ? 故

? 2 x, a < x < b ,且 EX 2 = 1 . ?0, 其他

{

}

? 2 x, a < x < b ? 0, 其它



+∞

?∞

f ( x ) dx = ∫ 2 xdx = b 2 ? a 2 = 1
b a
b a

① ②

E ( x 2 ) = ∫ 2 x3 dx =
2 2

1 4 (b ? a4 ) = 1 2

? 2 3 ?b = 2 ?b ? a = 1 ? 由①②得到 ? 4 推得到 ? 4 ?b ? a = 2 ?a 2 = 1 ? ? 2
? ?b = ? 由概率密度函数的非负性,知 a > 0, b > 0 则 ? ?a = ? ?
(2) P X < 1 = P ( ?1 < X < 1) = P ? ?1 < X < (23) (本题满分 10 分) 已知随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为
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6 2 2 2
? 2 ? 1 2? 1 < X < 1? = 0 + ∫ 2 2 xdx = . ? + P? ? ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ?

(

)

? ? ?

X

?1

1

P

1 2

1 2

Y P
且 P{ X = Y} =

0 1 4

1 3 4

1 4

(Ⅰ)求二维随机变量 (X,Y) 的概率分布; (Ⅱ)求 X 与 Y 的相关系数 ρ XY . 【解析】 (1) P ( X = Y ) =

1 1 ,即 P ( X = 1, Y = 1) = 4 4 1 4 1 4

所以 P ( X = 1, Y = 0 ) = P ( X = 1) ? P ( X = 1, Y = 1) =

同理可得 P ( X = ?1, Y = 0 ) = P ( X = ?1, Y = 0 ) = P (Y = 0 ) = 得到 P ( X = ?1, Y = 0 ) = 0

P ( X = ?1, Y = 1) = 1 ? P ( X = 1, Y = 0 ) ? P ( X = 1, Y = 1) ? P ( X = ?1, Y = 0 ) =
则二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布是

1 2

Y X
0 1 1 2 1 2

?1 0

p. j
(2)由 ρ XY =

1 1 4 1 4 1 2

pi.
1 4 3 4 3 4

D ( X ) D (Y )

Cov ( X , Y )

=

E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) D ( X ) D (Y )

由二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布得到

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XY P X 的边缘分布 X P

?1

0

1

1 2
?1

1 4 1 1 2

1 4

1 2

Y 的边缘分布 Y P

0 1 4

1 3 4 1 4

则 E ( XY ) = ? P ( XY = ?1) + 0 ? P ( XY = 0 ) + 1 ? P ( XY = 1) = ?

E ( X ) = ? P ( X = ?1) + 1? P ( X = 1) = 0
E (Y ) = 0 ? P ( Y = 0 ) + 1 ? P ( Y = 1) = 3 4

D ( X ) = E ( X 2 ) ? ? E ( X )? = 1 ? ?
2

D ( Y ) = E (Y 2 ) ? ? E ( Y ) ? = ? ?
2

3 9 3 ? = 4 16 16

所以 ρ XY =

D( X )

Cov ( X , Y )

1 ? ?0 ? 3 . = 4 = 3 3 D (Y ) 1 16

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