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8-2 矩阵的运算

8-2 矩阵的运算

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第2节

矩阵的运算

一、矩阵的加法和减法 二、矩阵与数相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的转置
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一、矩阵的加法和减法
设有A ? (aij ), B ? (bij )是两个 行n列矩阵 m ,
规定矩阵 A 与B的和(差)为

A ? B ? (aij ? bij )

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? 5 6 ? 7? ? 6 8 ? 4? 例8-1 设A ? ? ? 4 3 1 ?, B ? ? 9 ? 1 3 ?则 ? ? ? ? ? ? ?

? 5 ? 6 6 ? 8 ? 7 ? (?4) ? ? 11 14 ? 11? A? B ? ? ? 4 ? 9 3 ? (?1) 1 ? 3 ? ? ? 13 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ?
? 5 ? 6 6 ? 8 ? 7 ? (?4) ? ? ? 1 ? 2 ? 3 ? A? B ? ? ? 4 ? 9 3 ? (?1) 1 ? 3 ? ? ? ? 5 4 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

A+B和A-B仍是2行3列矩阵.
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m行n列矩阵的加(减)就是矩阵的对应元
素相加(减),当然相加(减)的矩阵必须具有相

同的行数和列数,加(减)得到的结果仍是m
行n列矩阵.

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例8-2

1 ? ? 1 ?1 5 ? ? ? 已 知A ? ? 1 2 ? 3 ?, B ? ? x1 ?x ?9 ? 5 3 ? ? ? ? 2
? 0 ? C ? ? ? y1 ?? y ? 2 y1 0 ? y3

x1 2 x3

x2 ? ? x3 ? 3? ?

解 由A=B+C,得
1 ? ? 1 ?1 5 ? ? ? ? 1 2 ? 3 ? ? ? x1 ?9 ? 5 3 ? ? x ? ? ? 2
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y2 ? ? y3 ?, 并 且A ? B ? C 0? ?

x1 2 x3
下一页

x2 ? ? 0 ? ? x 3 ? ? ? ? y1 ? ? ? y2 3? ?

y1 0 ? y3
返回

y2 ? ? y3 ?, 0? ?

1 ? ? ? ? x1 ? y1 ?x ? y 2 ? 2

x1 ? y1 2 x3 ? y3

x2 ? y2 ? ? x 3 ? y3 ?, 3 ? ?

根据矩阵相等的定义,有
? x1 ? y1 ? 5 ? x2 ? y2 ? 1 ? x3 ? y3 ? ?3 , , ? , ? ? ? x1 ? y1 ? 1 ? x2 ? y2 ? 9 ? x3 ? y3 ? ?5

解得x1 ? 3, y1 ? 2, x2 ? 5, y2 ? ?4. x3 ? ?4, y3 ? 1
5 ? 2 ? 4? ?1 3 ? 0 ? ? ? ? 故 所 求 的 矩 阵 ? ? 3 2 ? 4 ?, C ? ? ? 2 0 B 1 ? ?5 ? 4 3 ? ? 4 ?1 0 ? ? ? ? ?
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容易验证,矩阵的加减运算满足以
下规律: (1)交换律 A+B=B+A (2)结合律(A+B)+C=A+(B+C)

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例8-3

? 0 6 4? ? 1 0 2? A?? ? ? 4 2 8 ?, B ? ? 2 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 4? C ?? ? 2 ? 3 7 ?, ? ? ?

求A+B-C



? 0 6 4? ? 1 0 2? ? ? 2 1 4? A? B ?C ? ? ? ? 4 2 8? ? ? 2 1 0? ? ? 2 ? 3 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 3 5 2? ?? ? ? 4 6 1? ? ? ?

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二、矩阵与数相乘
定义 数k和矩阵 A ? (a ij ) m?n 的乘积记作kA

注意:

? ka11 ? ka ? 21 规定为: ? kA ? ? ? ? kam 1

ka12 ka22 ? kam 2

? ka1n ? ? ka2 n ? ? ? ? ? ? ? kamn ?

数乘矩阵是用该数乘此矩阵的每一个元素。 这一点一定要与数乘行列式加以区别。

0 0? ?1 例1 已知 A ? ? ? 1 2 0 ? ,B ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1? ? ? 求3 A ? 2 B

?1 2 1 ? ?1 3 ? 1? , ? ? ?2 1 4 ? ? ?

0 0? ?1 ?1 2 1 ? 解: A ? 2 B ? 3?? 1 2 3 0 ? ? 2?1 3 ? 1? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1? ?2 1 4 ? ? ? ? ?

? 3?2 0?4 0?2 ? ? 1 ?4 ?2? ?? 3 ? 2 6 ? 6 0 ? 2 ? ? ?? 5 0 ?? 2 ? ? ? ? ? ? 1 ? 5 ? 11? ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 8? ? ? ? ?

?2 ? 1 2 ? ? ? 4 2 2? 例2 已知 A ? ? ? , B ? ? 3 3 2? , ? 0 3 ? 4? ? ? 且A ? 3 X ? B,求 X
1 解 由 A ? 3 X ? B 得 X ? ( A ? B) 3

( 1 ?2 ? ? 4) ? 1 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? 3 ? 3 ? 4 ? 2? 3 ? 0?3

? 2 ? 1 0? ?? ? ? ? 1 0 2?

数乘矩阵运算规律
则: 定理2.2 设A、B、O ? M m?n , k , l为实数,
(1) k ( A ? B) ? kA ? kB

(2)
(3)

(k ? l ) A ? k A ? l A
k (l A) ? (kl) A

(4)

1A ? A

(5)

0A? O

1 求 2( A ? B ) 2

? 3 1 ? 2? ?0 ?1 2 ? 例8-4 已知A ? ? ? 3 2 1 ?, B ? ? 3 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?


? 6 2 ? 4? ? 0 ? 1 2 ? 1 2( A ? B) ? 2 A ? B ? ? ? 6 4 2 ? ? ? 3 2 ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ?

? 6 1 ? 2? ?? ?9 6 1 ? ? ? ?
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三、矩阵与矩阵相乘
我们先看下面的例子: 某厂生产A、B两种产品,第一季度按 月销售额如下表所示:
A(千元) 5 6 8
下一页

一 月 二 月 三 月
上一页

B(千元) 7 10 12
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当产品质量全为一等品时或全为二

等品时,其利润率如下表所示:
一等品 二等品

A
B

20%
30%

10%
15%

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因此,该厂产品若全为一等品或全为
二等品时,利润如下表所示:
一等品 一月 5×0.2+7×0.3=3.1 二等品
5×0.11+7×0.15=1.55

二月 6×0.2+10×0.3=4.2 6×0.1+10×0.15=2.1 三月 8×0.2+12×0.3=5.2 8×0.1+12×0.15=2.6

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上述三个表,用矩阵表示为
?5 7 ? ? ? ? 0.2 0.1 ? A ? ? 6 10?, B ? ? ? 0.3 0.15? ? ? ? ? 8 12? ? ?

? 5 ? 0.2 ? 7 ? 0.3 5 ? 0.1 ? 7 ? 0.15 ? ? 3.1 1.55 ? ? ? C ? ? 6 ? 0.2 ? 10? 0.3 6 ? 0.1 ? 10? 0.15? ? ? 4.2 2.1 ? 8 ? 0.2 ? 12? 0.3 8 ? 0.1 ? 12? 0.15? ? 5.2 2.6 ? ? ?

? ? ? ? ?

可以看出,矩阵C中第一行第一列的元素3.1等

于矩阵A的第一行各元素与矩阵B的第一列对
应元素乘积之和,即
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3.1 ? 5 ? 0.2 ? 7 ? 0.3
矩阵C中第一行第二列的素1.55等于矩阵
A的第一行各元素与矩阵B的第二列对应元素

乘积之和,即

1.55 ? 5 ? 0.1 ? 7 ? 0.15
余类推,矩阵A,B,C之间的这种关系可 以表达成以下形式:

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?5 7 ? ? 5 ? 0.2 ? 7 ? 0.3 5 ? 0.1 ? 7 ? 0.15 ? ? ?? 0.2 0.1 ? ? ? ? 6 10?? ? 0.3 0.15? ? ? 6 ? 0.2 ? 10? 0.3 6 ? 0.1 ? 10? 0.15? ? ? ? ? 8 12?? 8 ? 0.2 ? 12? 0.3 8 ? 0.1 ? 12? 0.15? ? ? ? ?

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矩阵的乘法
定义

设A ? (aij ) m?s , B ? (bij ) s?n,

那么A与B的乘积为C ? (c ij ) m?n ,即C ? AB

其中cij ? ai1b1 j ? ai 2b2 j ? ?? aisbsj

? ? a ik bkj (i ? 1,2?m, j ? 1,2?n)
k ?1

s

例如

4 ? ?? 2 4 ? ? 2 C ?? ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 2?2 ? ? 3 ? 6 ? 2?2

? 16 ? 32? ? ? ? ? 16? 2?2 ?8

又如

? 1 0 ? 1 2? ? ? A ? ? ? 1 1 3 0? ? 0 5 ? 1 4? ? ?

? 0 ? ? 1 B?? 3 ? ??1 3

4 ? ? 2 1 ? 1 ? 1? ? 2 1 ? 3

? 0 ? 1 0 ? 1 2 ?? ? ?? 1 C ? AB ? ? ? 1 1 3 0 ?? ? 0 5 ? 1 4 ?? 3 ? ? ??1


?? 5 6 7 ? ? ? ? ?10 2 ? 6? . ?? 2 17 10? ? ?

4 ? ? 2 1 ? 1 ? 1? ? 2 1 ?

注意:
要使C=AB有意义,则A的列数必须等于B的行数, 且矩阵C的第 i行第j列元素正好是A的第i行与B第j 列对应元素乘积之和。 例如

? 3? ? ? ?1 2 3? ? 2 ? ? ?1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 1? ? ?10?. ? 1? ? ?

? 1 2 3? ? ? ? 1 6 8? ? 不存在. ? 3 2 1?? ? 5 8 9? ? 6 0 1? ? ?

例3

?1 设A ? ? ?2

3? ? 4?

?? 2 B?? ? 1

0 3

4 ? ? ? 1?

求 AB
?1 9 1 ? 解 AB ? ? 0 12 4? ? ?
此处BA 无意义

例4

?1 设A ? ? ?0

0 ? ? ? 1?

? 0 B?? ?? 1

1? ? 0?

求 AB、BA
?0 1? ? 0 ? 1? 解 AB ? ? ? ,BA ? ?? 1 0 ? ?1 0? ? ?

例5 设A ? ?a1 a 2 ? a n ?

解 :AB ? ?a1

a2

? b1 ? ?b ? ?? 2 ? ? (a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn ) ? an ??? ? ? ?bn ? ? b1a n ? ? b2 a n ? ? ? ? ? ? ? bn a n ?

? b1 ? ?b ? ? 2 ? 求AB、BA B? ??? ? ? ? bn ?

? b1 ? ? b1a1 b1a 2 ?b ? ?b a b a ? 2 ??a a ? a ? ? ? 2 1 2 2 BA ? n ??? 1 2 ? ? ? ? ? ? ?bn ? ?bn a1 bn a 2

1? ? 3 ?? 5 1 ? ?0 0? 例6 设A ? ? ? ,B ? ? 9 ? 1? C ? ?1 3? ? ? 2 ? 1? ? ? ? ? 求 AC、BC

1 ? ?0 0? ? 1 3? ?3 解: AC ? ? ? ?1 3? ? ?? 1 ? 3? ?? 2 ? 1? ? ? ? ?
3? ? ? 5 1 ? ? 0 0? ? 1 BC ? ? ? ?1 3? ? ?? 1 ? 3? ? 9 ? 1? ? ? ? ?
此处 AC ? BC

,

但 A? B

例7 已知
求AB和BA

?1 2 ? ? ? ?2 ?1 3 ? A?? ? 1 2 ? 1 ?, B ? ? 0 ? 1 ? ? ? ? ?3 4 ? ? ?

?1 2 ? ? ?2 ?1 3 ? ? 解 AB ? ? ? 1 2 ? 1? ? 0 ? 1? ? ? ?? 3 4? ? ? ? 2 ? 1 ? (?1) ? 0 ? 3 ? 3 2 ? 2 ? (?1) ? ( ?1) ? 3 ? 4 ? ? 11 17 ? ?? ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ? (?1) ? 3 1 ? 2 ? 2 ? (?1) ? (?1) ? 4 ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ?
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?1 2 ? ? ? ?2 ?1 3 ? BA ? ? 0 ? 1 ? ? ? 1 2 ? 1? ? ? ? ?3 4 ? ? ? 1 ? ( ?1) ? 2 ? 2 1 ? 3 ? 2 ? ( ?1) ? ? 1? 2 ? 2 ? 1 ? ? ? ? 0 ? 2 ? ( ?1) ? 1 0 ? ( ?1) ? ( ?1) ? 2 0 ? 3 ? ( ?1) ? ( ?1) ? ? 3? 2 ? 4?1 3 ? ( ?1) ? 4 ? 2 3 ? 3 ? 4 ? ( ?1) ? ? ? 3 1? ? 4 ? ? ? ? ? 1 ? 2 1? ? 10 5 5 ? ? ?

即由上例可知,矩阵的乘法不满足
AB 交换律,在一般的情况下, ? BA.
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? 1 0 0 ?? a11 ? ?? ? 0 1 0 ?? a 21 ? 0 0 1 ?? a ? ?? 31

a12 ? ? a11 ? ? a 22 ? ? ? a 21 a 32 ? ? a 31 ? ?

a12 ? ? a 22 ? a 32 ? ?

可见单位矩阵在矩阵的乘法中作用类似于数1 由于矩阵的乘法不满足交换律,AB与BA不

一定相等,为区别起见,称AB为A左乘B,称BA
为A右乘B. 矩阵的乘法与数的乘法还有如下的差别: (1)两个不全为零的矩阵, 乘积可能为零矩阵,
? 2 ? 1? ? 1 ? 2? 例如, A ? ? ? ? 6 3 ?, B ? ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ?
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? 2 AB ? ? ??6 ?

? 1?? 1 ?? 3 ?? 2 ??

? 2? ? 0 ??? ? 4? ? 0 ? ?

0? ??0 0? ?

(2)若AB=AC,一般地不能得出B=C的结论.也 就是说,矩阵的乘法不满足消去律.
? 2 ? 1? ? 3 1 ? 2? ? 0 4 0? ?, B ? ? 例如, ? ? A ? ? ? 4 1 ? 3 ?, C ? ? ? 2 7 1 ? ? ? ? ?6 3 ? ? ? ? ? ?

1 ? 1? ? 2 ? 1?? 3 1 ? 2 ? ? 2 则AB ? ? ? ? 6 3 ?? 4 1 ? 3 ? ? ? ? 6 ? 3 3 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
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1 ? 1? ? 2 ? 1?? 0 4 0 ? ? 2 AC ? ? ? ? 6 3 ?? ? 2 7 1 ? ? ? ? 6 ? 3 3 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?

即AB=AC,但 B ? C

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矩阵乘法运算规律
定理 设A、B、C、O、I在下面各式中相应的
乘法和加法运算中都能进行,k为实数,则:
(1) 结合律:A(BC)=(AB)C;

k(AB)=A(kB)
(2) 分配律:A(B+C)=AB+AC;

(B+C)A=BA+CA
(3) OA=O ; AO=O

(4) IA=A ; AI=A

三. 矩阵乘法应用 例. 某厂家向三个代理商发送四种产品.
单价 重量 (元/箱) (Kg/箱) 啤酒(瓶装) 20 16 啤酒(易拉罐) 50 20 干啤 30 16 生啤 25 16 总价 总重 数量(箱) 南京 苏州 常州 200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150 18000 18150 16750 10480 10240 9680

20 50 30 25 A = 16 20 16 16

200 100 B = 150 180

180 120 160 150

190 100 140 150

例5. 四个城市间的单向航线如图所示. 1 4 若aij表示从i市直达j市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为 0 1 1 1 2 3 A = (aij) = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 若bij表示从i市经另外一个城市到j市航线的条数, 则由右图可得矩阵 1 2 1 1 0 2 0 1 1 1 i j B = (bij) = 1 0 0 0 3 0 2 1 1 4 其中bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .

5. 用矩阵乘积表示线性变换和线性方程组
y1 y2 (1)记y = … , x = ym x1 a11 a12 … a1n x2 a21 a22 … a2n … , A= … … … … , xn am1 am2 … amn

? y1 ? a11 x1 ? a12 x 2 ? ?? a1n x n ? y2 ? a 21 x1 ? a 22 x 2 ? ?? a 2 n x n ? 则线性变换 ? ? ? ? ? ? ? ? ym ? a m 1 x1 ? a m 2 x 2 ? ?? a mn x n ?
可以表示为y = Ax.

x1 x2 (2)记x = … , b = xn

a11 a12 … a1n b1 a21 a22 … a2n b2 , A= … … … … , … am1 am2 … amn bm

?a11 x1 ? a12 x 2 ? ?? a1n x n ? b1 ?a 21 x1 ? a 22 x 2 ? ?? a 2 n x n ? b2 则线性方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ?a m 1 x1 ? a m 2 x 2 ??? a mn x n ? bm ?
可以表示为Ax = b.

4、方阵的幂

设A为n阶方阵, 定义:

A1 ? A , A 2 ? A ? A ,? , Am?1 ? Am ? A (其中 为正整数) m

并且A A ? A
k l

k ?l

,( A ) ? A
k l

kl

对任意的正整数 , l 成立。 k
因为矩阵的乘法不满足交换律,所以对两个 n阶方阵
m A、B 一般有 AB) ? A m Bm (

? 1 0 1? ? ? 例 9 已 知 A ? ? 0 2 0 ? , 求 A2 ? 2 A ? 1 0 1? ? ? 解一 ? 1 0 1 ?? 1 0 1 ? ? 1 0 1 ? ? ?? ? ? ? 2 A ? 2 A ? ? 0 2 0 ? ? 0 2 0 ? ? 2? 0 2 0 ? ? 1 0 1 ?? 1 0 1 ? ? 1 0 1 ? ? ?? ? ? ?
? 2 0 2? ? 2 0 2? ?0 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ?0 4 0 ? ? ?0 4 0? ? ?0 0 0? ? 2 0 2? ? ? ? ? 2 0 2? ?0 0 0? ? ? ?

解二

??1 0 1 ? ? ? 2 A ? 2 A ? ( A ? 2E)A ? ? 0 0 0 ? ? 1 0 ? 1? ? ?

? 1 0 1? ?0 0 0? ? ? ? ? ?0 2 0? ? ?0 0 0? ? 1 0 1? ?0 0 0? ? ? ? ?


? ?1 0 ? ? 0 ?2 ?? ? ? ?0 0 ?
? ?k 0 ? 0? ? 1 ? ? 0? ? 0 ?k 2 ? ? ? ?? ?? ? ? ?0 0 ? ?n ? ? ?
k

0? ? ? 0? ? ? ?? ? ?k ? n? ?

例7

? 1 ? ??1 设A ? ? ?1 ? ??1 ?

?1 1 ?1 ?1

?1 ?1 1 ?1

? 1? ? ? 1? ? 1? ? 1 ? ?

求A100



? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?? ? ? ? 1 1 ? 1 ? 1 ?? ? 1 1 ? 1 ? 1 ? 2 A ?? ? 1 ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 1 ?? ? 1 ? 1 ? 1 1 ? ?? ? ? ?? ?

?4 ? ?0 ?? 0 ? ?0 ?

0 4 0 0

0 0 4 0

0? ? 0? ? ? 4I 0 ? 4? ?

A

100

? ( A ) ? (4I ) ? 4 I
2 50 50 50

四、矩阵的转置
定义 把矩阵A的行列互换就得到一个新的 矩阵,称为这个矩阵A的转置矩阵,记作AT 例如矩阵
?1 A?? ?3 ? 2 ?1 0? ? 1? ?

?1 ? T 的转置矩阵为 A ? ? 2 ?0 ?
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3 ? ? ? 1? 1 ? ?
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矩阵的转置也是一种运算,满足下述运算 规律(假设运算都是可行的);

(1)( A ) ? A;
T T

( 2)( A ? B ) ? A ? B ;
T T T

( 3)(kA) ? k ( A) ;
T T

(4)( AB ) ? B A ;
T T T

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由转置矩阵的定义可知如下结论: 矩阵A为对称矩阵的充要条件为

AT ? A

矩阵A为反对称矩阵的充要条件为 AT ? ? A

例8-5

? 1 7 ? 1? ? ? ? 2 0 ? 1? T 已知 A ? ? ? 1 3 2 ?, B ? ? 4 2 3 ?求( AB) ? ? ? ?2 0 1 ? ? ?

解法1 因为
? 2 0 ? 1? AB ? ? ?1 3 2 ? ? ? ? ? 1 7 ? 1? ? ? ? 0 14 ? 3 ? ?4 2 3 ? ? ? ? 17 13 10 ? ? ? ?2 0 1 ? ? ? ?

? 0 17 ? ? ? T 所 以( AB ) ? ? 14 13? ? ? 3 10? ? ?
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解法2
? 1 4 2 ? ? 2 1 ? ? 0 17? ? ? ? ? ? ? T T T ( AB ) ? B A ? ? 7 2 0 ? ? 0 3 ? ? ? 14 13? ? ? 1 3 1 ? ? ? 1 2 ? ? ? 3 10? ? ? ? ? ? ?

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五、分块矩阵
对于行数和列数较高的矩阵A,为了 简化运算,经常采用分块法,使大矩阵的

运算化成小矩阵的运算. 具体做法是:将
矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.



?a ? ?0 A?? 1 ? ?0 ? ?a ? ?0 A?? 0 ? ?0 ?

1 0 0? ? ? B1 ? a 0 0? ? ? ? B , ? ? 2? 0 b 1 ? ? B3 ? ? ? ? 1 1 b?



1 a 1 1

0 0 1 1

0 ? ?B ? ? ? 1? 0? ? ? ? ?B2 b? ?B ? ? ? ? 3 b?

?a ? ?0 A?? 1 ? ?0 ?

1 0 0? ? a 0 0 ? ? C1 ?? 0 b 1 ? ? C3 ? 1 1 b? ?

C2 ? ?, C4 ?



? ? ? A?? ? ? ?

a 0 1 0

1 a 0 1

0 0 b 1

0? ? 0 ? ?C1 C 2? ? ? ?C 3 C4? 1 ? ? ? ? b?

?a ? ?0 A?? 1 ? ?0 ?

1 0 0? ? ?A a 0 0? ?? ? 0 b 1 ?E ? 1 1 b? ?

O? ? b 1? ?a 1? ? , 其中A ? ? ? ? B?? B? ? 1 b? ?0 a?
? 0 0? ? 1 0? ? E ?? ? O?? ? 0 0? ? 0 1?

?a ? ?0 A?? 1 ? ?0 ?

1 0 0? ? a 0 0? ? ? ? A1 A2 A3 A4 ?, 0 b 1 ? ? 1? ?a? ? 0? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 b? ? 0? A ? ?a? ? 0? ? 0? 其中A1 ? ? ? 2 ? ? A3 ? ? ? A4 ? ? ? 0 1 b 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 0? ? 1? ? b? ? ? ? ? ? ? ? ?

矩阵的分块应用
用分块法计算矩阵 A 与 B的乘积 , 左矩阵 A 的列的分法与右 矩阵 B 的行的分法一致. 其运算规则与普通矩阵的运算规则类似. 0 0? ? 1 0 0 0? ? 1 ? ? ? ? ? 0 1 0 0? ?? 1 2 0? 例1 设 A ? ? ?, B ? ? 1 ?, 求AB . ?1 2 1 0 0 1 ? ? ? ? ? 1 1 0 1? ? ? 1 ? 1 1? ? ? ? ? 解 把 A,B 分块成
? 1 ? ? 0 A?? ?1 ? ? 1 ? 0 1 2 1 0 0 1 0 0? ? 0? ? E ?? ? A ? 0 ? ? 21 1? ?

0? ?, E? ?

? 1 ? ??1 B?? 1 ? ??1 ?
其中

0 2 0 ?1

0? ? 0 ? ? B11 ?? ? ?B 1 ? ? 21 1? ?

0 ? ?. B22 ? ?

0 ? ? ? 1 2? ? 1 0? ? 1 ? 1? A21 ? ? ? 1 1 ?, B11 ? ? ? 1 2 ?, B21 ? ? ? 1 ? 1 ?, B22 ? ? 1 ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?


? E AB ? ? ?A ? 21


0 ? ? B11 ?? E ? ? B21 ??

B11 0 ? ? ?? ? B22 ? ? A21 B11 ? B21 ? ?

0 ? ? B22 ? ?

0 ? ?? 2 4? ? ? 1 2 ?? 1 0 ? ? 1 A21 B11 ? B21 ? ? ? 1 1 ?? ? 1 2 ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? 1 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

所以

? 1 ? ??1 AB ? ? ?2 ? ??1 ?

0 2 4 1

0? ? 0? ?. 1 ? 1? ?

分块矩阵的转置 设分块矩阵
? A11 ? A1 r ? ? ? A?? ? ? ? ?A ? ? s 1 ? Asr ?

那么
T T ? A11 ? As 1 ? ? ? T A ?? ? ? ? ? T T ? Ar 1 ? Asr ? ?

? m ? 1时 ,A是 行 矩 阵 ? ? n ? 1时 ,A是 列 矩 阵 ? ?a ij ? 0时 ,A是 零 矩 阵 矩阵 ? 的定义 ?aij ? 0( i ? j ) A是 对 角 矩 阵 ? ?a ij ? 1( i ? j ), a ij ? 0( i ? j ), A是 单 位 矩 阵 A ? aij m?n ? a ? ( i ? j) 上 三 角 矩 阵 0 ij ? ?a ij ? (i ? j) ) 下 三 角 矩 阵 0 ?

小结

? ?

矩阵的代数运算 AT 矩阵的转置

?加法运算 A ? B ? ?数乘运算 ?A ?乘法运算 AB ?

矩阵的分块


更多搜索:8-2 矩阵的运算

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