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11年经济数学基础形成性考核考试终极小抄(精)-电大

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一、单项选择题 1.设 A 为 3x2 矩阵,B 为 2x3 矩阵,则下列运算中(AB )可 以进行. 2 . 设 AB 为 同 阶 可 逆 矩 阵 , 则 下 列 等 式 成 立 的 是 ( ( AB ) T = B T A T ) 3 设 A , B 为同阶可逆方阵,则下列说 法正确的是(

11.若线性方程组 ? x1 ? x 2 = 0 有非零解,则

? ? x1 + λx 2 = 0

λ = -1.

3 设矩阵 A = ?? 13

12. 设齐次线性方程组

Am×n X n×1 = 0 ,且秩(A) = r <

??4 ? ? 2 ?
I )=

? 6 ? 3? ,求 ? 2 ? 1? ? 1 1? ?

A?1

解 因为 (A

n,则其一般解中的自由未知量的个数等于 n – r. 13.齐次线性方程组 AX = 0 的系数矩阵为

( AB )

?1

=B A

?1

?1

) .4.设 AB 阶方阵,在 ) .

下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是( A?1 = I D

7.设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算,那么(AB = AC,A 可 逆,则 B = C 成立. 9.设,则 r(A) =( 1 ) .

?1 ? 1 2 3 ? 则此方程组的一般解为 A = ?0 1 0 ? 2? ? ? ?0 0 0 0 ? ? ?
? x1 = ?2 x3 ? x4 . ? ?x2 = 2x4
14.线性方程组 AX = b 的增广矩阵

?? 13 ? 6 ? 3 1 0 0? ?1 1 4 1 0 7 ? ? ? 4 ? 2 ? 1 0 1 0? → ?0 0 1 0 1 2? ? ? ? ? ? 2 ?2 1 1 0 0 1? 1 1 0 0 1? ? ? ? ?

10.设线性方程组 AX = b 的增广矩阵通过初等行变换化为, 则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为( 11.线性方程组 ? x1 1 ) . ) .

4 1 0 7 ? ?1 1 → ?0 0 1 0 1 2 ? ? ? ?0 ? 1 ? 7 ? 2 0 ? 13? ? ?

A 化成阶梯形矩阵后为

+ x 2 = 1 解的情况是(无解 ? ? x1 + x 2 = 0
?1 λ A=? ?2 1 2? 0? ?

12. 若线性方程组的增广矩阵为

, 则当

λ =( 1
2

0 ? 则当 d-1 组 AX=b 解. ?1 2 0 1 A → ?0 4 2 ? 1 1 ? ? ? ?0 0 0 0 d + 1? ? ?
15.若线性方程组 AX = b (b ≠ 0) 有唯一解,则 AX = 0 只有 0 解. 三、计算题

?1 1 0 1 ? 4 ? 1? → ?0 0 1 0 1 2? ? ? ? 1? ?0 ? 1 0 ? 2 7 ? 0? ?1 0 0 ? 1 3 0? ?1 0 0 ? 1 3 → ?0 ? 1 0 ? 2 7 1 ? → ?0 1 0 2 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ?0 0 1 0 1 2? ?0 0 1 0 1 2? ? ? ?
所以 A 1 = ?? 1
-

)时线性方程组无解. 13. 线性方程组 AX = 0 只有零解,则 AX = b (b ≠ 0) (可 能无解). 14.设线性方程组 AX=b 中,若 r(A, b) = 4,r(A) = 3,则该线 性方程组(无解) . 二、填空题

?2 ? ?0 ?

3 0? ? 7 ? 1? ? 1 2? ?

1 设矩阵

? 1 0 2? , ? 2 1? ,求 ( 2 I ? AT ) B A = ? ? 1 2 4? B = ? ? 1 3? ? ? ? ? ? 3 1 1? ? 0 3? ? ? ? ?

4 设矩阵 A = ?0

1.两个矩阵

A , B 既可相加又可相乘的充分必要条件是
解 [4] . 因为 2 I ? AT =

1 2? ,求逆矩阵 ?1 1 4? ? ? ? 2 ? 1 0? ? ?
(A

A?1

A 与 B 是同阶矩阵
2.计算矩阵乘积

[1

? 2 ?= ?3 0 0? ? ? 2]? ?? 0 ? ?0 1 1 ? ?? 1? ? ?

?1 0 0? ? 1 0 2? 2 ?0 1 0? ? ?? 1 2 4? ? ? ? ? ? ?0 0 1? ? 3 1 1? ? ? ?

T

因 = ?0



I

)

1 2 1 0 0? 4 0 1 0? ?1 1 ?1 1 4 0 1 0? → ?0 1 2 1 0 0? ? ? ? ? ?2 ? 1 0 0 0 1 ? ?0 ? 3 ? 8 0 ? 2 1? ? ? ? ?

3.若矩阵 A = [? 1 2],B = [2 ATB= ?? 2

? 3 1] ,则
= ?2

?4 ?

? 1? . ?6 2 ? ? 3

4.设

BA 都 可 进 行 运 算 , 则

A 为 m × n 矩阵, B 为 s × t 矩阵,若 AB 与 m, n , s, t 有 关 系 式

0 0? ?1 ? 1 3? = ? 1 1 ? 3? ?0 2 0? ? ?0 2 1? ? 0 0 ? 1? ? ? ? ? ? ? ?0 0 2? ?2 4 1? ? ? 2 ? 4 1 ? ? ? ? ? ? ?

?1 0 2 ? 1 1 0? ?1 0 0 2 ? 1 1? → ?0 1 2 1 0 0? → ?0 1 0 4 ? 2 1? ? ? ? ? ?0 0 ? 2 3 ? 2 1 ? ?0 0 ? 2 3 ? 2 1? ? ? ? ? 2 ?1 1 ? ?1 0 0 → ?0 1 0 4 ?2 1 ? ? ? ? ?0 0 1 ? 3 2 1 ? 1 2? ?
A 1= ? 2





m= t,n = s
5.设

所以

1 ? 3? ? 2 1? = ?1 ? 5 ? ( 2 I ? AT ) B = ? 1 ? 0 0 ? 1? ? ? 1 3? ?0 ? 3 ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 ? 4 1 ? ? 0 3? ?0 ? 11? ? ?? ? ? ?

?1 0 2 ? ,当 A = ?a 0 3 ? ? ? ? 2 3 ? 1? ? ?

a=

0

时,A 称矩阵. 2 设矩阵

?1 1 ? ? 4 ?2 1 ? ? ? ?? 3 2 1 ? 1 2? ? ?
0 ? 2? ,B = ?6 3? ,计算(AB) 1 ?1 2? ?1 ? 2 0 ? ? ? ? ? ?4 1? ? ?

6.当 a 时,矩阵

? 1 3 ? 可逆. A=? ? ?? 1 a ?

?? 6 1 ? 计 ?1 0 2? , ?2 1 2? , A=? ? ? ? ? 1 ? 2 0? B = ?0 1 0? C = ? 2 2? ? ? ?0 0 2? ?? 4 2? ? ? ? ?

5 设矩阵 A = ?1

BA T + C .

7.设 AB 个已知矩阵,且 1-B 则方程 A + BX = X 的解

X = ( I ? B ) ?1 A .

解 因为 AB = ?1 解: BA T + C = ?2

8.设

A 为 n 阶可逆矩阵,则 r (A)=n


1 2? ?0 1 0? ? ? ?0 0 2? ? ?

?1 1 ? ? ? 6 1? ?0 ? 2? + ? 2 2? ? ? ? ? ? 2 0 ? ?? 4 2? ? ? ? ?
(AB

0 ? 2? ?6 3? = ?? 2 1 ? ?1 ? 2 0 ? ?1 2? ? 4 ? 1? ? ?? ? ? ? ?4 1? ? ? 1 1 0? ?? 2 1 1 0? →? ? ? 1 0 1? ? ? 0 1 2 1?
1 2 2 1? 2? 1? ?
所以 (AB) 1=
-

I ) = ?? 2

9.若矩阵 A = ?2 ? 1 2? ,则 r(A) = 2 ?4 0 2? ? ? ?0 ? 3 3? ? ?

= ?6

0 ? ? ? 6 1? = ?0 1? ?0 ? 2? + ? 2 2? ?2 0? ? ? ? ? ? ? ? 4 0 ? ?? 4 2? ?0 2? ? ? ? ? ? ?

?4 ?

? ? ? 2 0 ? 1 ? 1? 1 0 →? →? 0 1 2 1? ?0 1 ? ? ? ?1 ?2 ?2 ? 1? 2? 1? ?

10.若 r(A, b) = 4,r(A) = 3,则线性方程组 AX = b 无解 无解.

1

7 解矩阵方程 ?? 2

?3 ?

? 3? ? ? 1? . X =? ? 4? ? ?2?



因为 ?? 2

?3 ?

? 3 1 0? ?1 1 1 1? →? ? 4 0 1? ? ?3 4 0 1?

1 1 ? ? 1 1 1 1 ? ?1 1 A = ? 2 1 ? 4 λ ? → ?0 ? 1 ? 6 λ ? 2? ? ? ? ? ? ? 1 0 5 1 ? ?0 1 6 2 ? ? ? ? ?
11 求下列线性方程组的一般解: ? x1

1? 3? ?1 1 1 ?1 0 4 →? ? → ?0 1 ? 3 ? 2? ?0 1 ? 3 ? 2? ? ?


+ 2 x3 ? x 4 = 0 ? ? ? x1 + x2 ? 3x3 + 2 x4 = 0 ?2 x ? x + 5 x ? 3 x = 0 2 3 4 ? 1
系 数 矩

?1 0 ? 5 ? 1? → ?0 1 6 2? ? ? ? λ? ?0 0 0 ?

? ? 2 ? 3? ?3 4? ? ?

?1

3 ? ?4 =? ? ?? 3 ? 2?





,

X







所以当

λ =0 时,线性方程组有无穷多解,且一般解为:
? x1 = 5 x3 ? 1 ? ? x 2 = ?6 x3 + 2

=? 4

3 ? ?? 1? = ? 2 ? ?? 3 ? 2? ? 2 ? ? ?1? ? ?? ? ? ? ?1 2? ?1 ? 1? X? ?=? ? ?3 5? ? 2 0 ?


2 ? 1? ?1 0 ?1 0 2 ? 1? A = ?? 1 1 ? 3 2 ? → ?0 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? 1 5 ? 3? ?0 ? 1 1 ? 1? ? ? ? ?
未知量〕

( x 3 是自由

8 解矩阵方程

经济数学基础形成性考核册及参考







?1 2 1 0? ?3 5 0 1? ? ?

1 0? ?1 2 →? ? ?0 ? 1 ? 3 1?

?1 0 2 ? 1? → ?0 1 ? 1 1 ? ? ? ?0 0 0 0? ? ?
所以一般解为 ? x1 = ?2 x 3 + x 4 (其中

答案 一单项选择题

?1 0 ? 5 2 ? →? ? ?0 1 3 ? 1?


? ? x 2 = x3 ? x 4

x3 , x4 是自由未

1. 函数 y =

x ? 1 的连续区间是( x2 + x ? 2



知量) 12.求下列线性方程组的一般解: ? 2 x1 ? 5 x 2 + 2 x3 = ?3

答案:D. ( ?∞ , ? 2 ) ∪ ( ? 2 , +∞ ) 或
( ?∞ , 1 ) ∪ ( 1 , +∞ )

?1 2? ?3 5 ? ? ?

?1

?? 5 2 ? =? ? ? 3 ? 1? ? 1? ?1 2? 0 ? ?3 5 ? ?? ?
?1

所 以 , X = ?1

?2 ?

= ?1

?2 ?

? 1? ? ? 5 2 ? = 0 ? ? 3 ? 1? ?? ?

? ? x1 + 2 x 2 ? x3 = 3 ?? 2 x + 14 x ? 6 x = 12 1 2 3 ?

2. 下列极限计算正确的是( B.
lim x
+

)答案:

x→ 0



因为增广矩阵

x

= 1

+ 2 x3 = ?1 ,求其系数 ? ? 8 3? 10 设线性方程组 ? x1 ? ? ? 10 4? ? ? x1 + x 2 ? 3 x3 = 2 ? ? ?2 x ? x + 5 x = 0 2 3 ? 1
矩阵和增广矩阵的并.

3. 设
? 2 ? 5 2 ? 3? ?1 2 ? 1 3 ? A=? 1 2 ? 1 3 ? → ?0 ? 9 4 ? 9? ? ? ? ? ? ?0 18 ? 8 18 ? ?? 2 14 ? 6 12 ? ? ? ? ?1 0 ? 1 9 1? → ?0 1 ? 4 9 1? ? ? ? 0 0? ?0 0 ?

y

=

lg 2 x

, dy 则

=(

) 答案: .

B.

1 dx x ln 1 0
)是错误

4. 若函数 f (x)在点 x0 处可导,则(
解 因为

0 2 ? 1? ?1 ?1 0 2 ? 1? A = ?? 1 1 ? 3 2 ? → ?0 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 ?1 5 ?0 ? 1 1 0? 2? ? ? ? ?

的.答案: B.
A ≠

x → x0

lim f ( x ) = A ,但

f ( x

0

)

所以一般解为

?1 0 2 ? 1? → ?0 1 ? 1 1 ? ? ? ?0 0 0 3 ? ? ?
所以 r(A) = 2,r( 又因为 r(A) ≠ r(

1 ? ?x = x + 1 ? 1 9 3 ? ?x = 4 x + 1 ? 2 9 3 ?

(其中

x3 是自由未知量)

5.当 (

x → 0 时,下列变量是无穷小量的是
). 答案:C. ln( 1 + x ) )是 xsinx 的原函数. 答案: ) .
x
2

6. 下列函数中, ( D.-

13 设齐次线性方程组 ? x1 ? 3 x 2 + 2 x3 = 0

A ) = 3.

? ? 2 x1 ? 5 x 2 + 3 x3 = 0 ?3 x ? 8 x + λ x = 0 2 3 ? 1

1 2 cosx 2
dx =

A ),所以方程组无解.

7. 下列等式成立的是( C.
矩 阵 A

问 λ 取何值时方程组有非零解,并求一般解. 13 = ?1 . 解 因 为 系 数

2

x

1 d(2 ln 2

)

? 3 2? 2 ? ?1 ? 3 ?1 0 ? 1 ? ?2 ? 5 3 ? → ?0 1 ? 1 ? → ?0 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?3 ? 8 λ ? ?0 1 λ ? 6? ?0 0 λ ? 5? ? ? ? ? ? ?

8. 下列不定积分中,常用分部积分法计算的是 ( ) C. .

∫ x sin 2 x d x
) .

所以当 λ = 5 时,方程组有非零解. 且一般解为

9. 下列定积分计算正确的是(
D.

? x1 = x3 ? ? x 2 = x3
14 当

(其中

x3 是自由未知量)
x1 + x2 + x3 = 1 有解?并 ?2 x1 + x2 ? 4 x3 = λ ?? x + 5 x3 = 1 ? 1

∫ πsin xdx = 0
?

π

10. 下列无穷积分中收敛的是(
B.

) .

λ 取何值时, 线性方程组 ? ?



+∞ 1

1 dx x2

11. 以下结论或等式正确的是( ) .
C.对角矩阵是对称矩阵

求一 解 因 为 增 广 矩 阵

12. 设

A 为 3× 4 矩阵, B 为 5 × 2 矩阵, ACB T 有意义, C T 为 则 (


且乘积矩阵

2

矩阵. A. 2 × 4 13. 设

4.设函数

f ( x + 1) = x 2 + 2 x + 5
__ .答案: 2 x

,则 答案: ( I 15. 设矩阵

? B ) ?1 A
,则
A = ? 1 ? 0 ? ? 0 ? 0 2 0 0 0 ? ? ? ? 3 ? ?

A, B 均为 n 阶可逆矩阵,则下列等式
) C. AB .
= BA

f ′ ( x ) = __________
5.设

成立的是(

f ( x ) = x sin x ,则

14. 下列矩阵可逆的是( A. ?

) .

1 ?0 ? ?0 ?

2 2 0
? 2 ? 3 ? ? 4 ?

3? 3? ? ? 3?
的秩是
2 3 4 2 3 4 ? ? ? ? ?

π . f ′′( ) = __________答案: 2
6.若

f ( x ) d x = 2
x

π 2
2 x +

+

,则
c

A ?1 = __________ .答案:
= ? ? 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 1 2 0 ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? 3 ? ? 0

f ( x ) = __________

_________

.答案:
A

15. 矩阵
A =

2 ln 2 + 2
x



) .

B.1 7.

16. 下列函数在指定区间 ( ?∞, +∞ ) 上单调 增加的是( ) B.e x .

∫ (sinx)′dx = ________ .答案:
8. 若

16.函数

sin x + c

1 在区间 x ___________________ 内是单调 f ( x) = x +

17. 已知需求函数

∫ f ( x)dx =F ( x) + c ,则
(1 ? x
2

减少的.答案: (?1,0) ∪ (0,1)
.答案:

q ( p ) = 100 × 2 ?0.4 p ,当 p = 10 时,
需求弹性为( ) .C. - 4 ln 2 ) . 18. 下列积分计算正确的是( A.


?

xf

) d x
2

=

1 F (1 ? x 2

) + c

17. 函数

y = 3( x ? 1) 2 的驻点是
,它是极

9.设函数 d 设 答案:0 10. 若

dx ∫

e

1

ln(1 + x 2 )dx = __________ . _

________ ,极值点是
值点.答案:



1

?1

e x ? e ?x dx = 0 2

x = 1, x = 1 ,小

B.



1

?1

ex + e?x dx = 0 2

P(x) =



0 x

1 1+ t2

,则
dt

18.设某商品的需求函数为

C.
D.




1 -1
1 -1

x sin xdx = 0
(x
2

P ′( x ) = __________ .答案:
? 1 1+ x2
? 1 ? 3 ? ? 2 ? 0 ? 1 2 4 3 6 ? 5 ? 2 ? ? ? 1 ? ?

q ( p ) = 10e Ep =
19.行列式 , 则
1 D = ? 1 ? 1 1 1 ? 1

?

p 2

,则需求弹性
.答案: ?

2p

+ x 3 )d x = 0 答案:A

11.设矩阵 19. 设线性方程组

Am×n X = b 有无穷多解
) .

1 1 = __________ 1 __

.答案:

A

=

的充分必要条件是(

D. r ( A ) = r ( A ) < n

A 的元素 a 23 = __________________ .答
, 则方程组有解的 案:3

4

20. 设线性方程组 x1 + x 2 = a1 ? ? x2 + x3 = a 2 ? ?x + 2x + x = a 2 3 ? 1 充分必要条件是(
C. a 1

20. 设线性方程组
?1 ?0 ? ?0 ? 1 ? 1 0

AX = b ,且
1 3 6? 2? ? ? 0?

,则

A →

3

t + 1

) .

12 设

A, B 均为 3 阶矩阵,且

+ a2 ? a3 = 0

A = B = ? 3 ,则
? 2 AB
T

t __________ 时,方程组有唯一解.答 案: ≠ ?1
微积分计算题 答案: ? 72 (一)导数计算题 (1) y ) 答案: , 求

填空题
=

________ .

1.

lim
x →0

x ? sin x = ___________________ x
? x 2 + 1, f (x) = ? ? k, ? x ≠ 0 ,在 x = 0

13. 设

A, B 均为 n 阶矩阵,则等式

=

x

2

+ 2

x

+ log

2

x ? 2

2

y′

.答案:0

2.设

x=0

( A ? B ) 2 = A 2 ? 2 AB + B 2 成立的
充分必要条件是
.答案:

y′ = 2 x + 2

x

ln 2 +

1 x ln 2

处连续,则 k

= ________ .答案:1

AB = BA
14. 设

(2) )

y =

ax + b ,求 cx + d

y′

A, B 均为 n 阶矩阵,( I ? B ) 可逆, A + BX = X
的解

答案:

y′ =

a(cx + d ) ? c(ax + b) ad ? bc = (cx + d ) 2 (cx + d ) 2

3.曲线 是

y = x 在 (1,1) 的切线方程
.答案:

则矩阵

(3) y = )

1 3x ? 5

,求

y′

y =

1 1 x + 2 2

X = ______________ .
3

答案:
y′ = 2

? 3 (3 x ? 5 ) 3

(3) )



x 2 ? 4 dx x + 2

(4) )



π
2 0

x cos 2 xdx

(4) )

y = x ? xe x ,求 y ′
1 ? (e x + xe x ) 2 x
? e ? xe
x x

答案:原式=

∫ ( x ? 2)dx = 2 x

1

2

? 2x + c
原式= (

答案: y′ =

(4) )



1 dx 1 ? 2 x

π 1 1 x sin 2 x + cos 2 x) 02 2 4

= 1

答案:

2 x

1 d (1 ? 2 x) 1 ? ∫ = ? ln 1 ? 2 x + c 2 1? 2x 2

=?

1 1 1 ? =? 4 4 2

(5) y = sin )
y ′ = n (sin

n

x + sin
x cos

nx

,求

y ′ 答案:

(5) )

∫x

2 + x 2 d x 答案:原式
=1

n ?1

x + cos

nx )

=1

(6) )

y = ln(x + 1 + x 2 ) ,求 y ′ 答案:
1
2

2∫

2 + x 2 d (2 + x 2 )

3

(2 + x 2 ) 2 + c
(5) ) 原式= 1

3

(6) )



sin x

x


2

e

1

x ln xdx
1 e xdx 2 ∫1
e 1

dx

y′ =

x + 1+ x
=

? ( x + 1 + x 2 )′

答案:原式

2

e x 2 ln x 1 ?

1 x + 1+ x
2

? (1 +

x 1+ x
2

2

)

=2

∫ sin

x d x = ?2 cos x + c
x dx 2

=e

2

1 ? x2 4
4

1 = (e 2 + 1) 4
?x

=

1 x + 1+ x
2

?

1+ x2 + x 1+ x

(7) )

∫ x sin

=

1 1+ x2

x x 答案: ? 2 x cos + 4 sin + c 2 2
cot 1 x

(6) )

∫ (1 + xe
0

)dx

(7) )
y

=

2

+

1 +

3

x

2

? x

2 x

,

∵原式= 4 +

(8) )

∫ ln( x + 1)dx




4

0

xe ? x dx



y ′ 。答:
1 ? ln 2 ? (cos )′ + ( x + x ? 2 )′ x 1 1 cos 1 1 1 = ? 2 ? 2 x ln 2 ? sin ? + x x 2 x3 6 x5
1 cos x 1 ? 2 1 6

原式=

x ln( x + 1) ? ∫

x dx x +1



4

0

4 xe? x dx = ( ? xe? x ? e ? x ) 0
?4

= ? 5e

+1

y′ = 2

= x ln( x + 1) ? = x ln( x + 1) ?

∫ (1 ? x + 1)dx
x + ln( x + 1) + c

1

故:原式=

5 ? 5e ?4

(三)定积分计算题 (1) )

(四)代数计算题 1.计算 .

(8)sin( x )

+ y ) + e xy = 4 x ,求 y ′ 答
xy



2 ? 1

1 ?

x d x

案: ′ 4 ? ye ? cos(x + y) y = xy

xe + cos(x + y)

原式=



1

?1

(1 ? x )dx + ∫1 ( x ? 1)dx

2

(1) ? ? 2 ? 5 ? (2) ? 0 ?0 ? (3)

1? 3? ?

?0 ?1 ?

1? = ?1 0 ? ?3 ? ?

? 2? 5? ?

(二)不定积分计算题 (1) )

=



3 dx ex

x

1 5 9 2 2 + ( x 2 ? x )1 = 2 + = 2 2 2
2

2 ? ? 3? ?

?1 ?0 ?
? ? 4 ]? ? ? ?

1? ?0 = ? 0? ?0 ?
? ? ? ? ? ?

0? 0? ?

3 x 答案:原式= ( ) dx ∫ e
3 x =( ) 3x e +c = +c x 3 e (ln 3 ? 1) ln e
(2) )

(2) )


1 x

1

e dx x2

1 x

[?

1

2

5

3 0 ? 1 2

=

[0]

2.计算 ? 1 .

原式=



2

1

e 1 (? x 2 )d x2 x
1 2 1

2 3? ? ? 1 2 4 ? ? 2 4 5? ? ? 1 2 2? ? 1 4 3 ? ? ? 6 1 0? ? ?? ? ? ? ? 1 ? 3 2? ? 2 3 ? 1? ?3 ? 2 7? ? ? ? ? ??

=?ex

= e ? e2
1 dx x 1 + ln x

1





(1 + x ) x

2

dx

(3) )

答案:原式=

∫ (x
1

1 ? 2

+ 2 x + x )dx

3 2



e3

?1 2 ??1 2 ? ?1 ?3 ?
=
? 5 ? 1 ? ?? 3 ?

3 ??1 2 ? ? 2 ?1 4 ?? ?? 2 ?2 3 ?
15 11 ? 2

4? ?2 4 5 ?7 19 7? ?2 4 5 ? ? ? ? 3???6 1 0 =?7 12 0???6 1 0 ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?1 ?3 ?2 7? ?0 ?4 ?7 ?3 ?2 7 ? ? ? ? ?
? ? ? ? 14 ? ? 2 0

1

原式=

= 2x 2

+

4 3 2 5 x2 + x2 + c 3 5



e3

1

x d (1 + ln x) x 1 + ln x
=

2 1 + ln x

e3 1

=2
4

3.设矩阵 .

?2 A = ?1 ? ?0 ?

3 1 ? 1

? 1? ?1 1 ?, B = ? 1 ? ? ?0 1 ? ? ?

2 1 1

3 ? 2 ? ? 1 ? ?

?1 ? 3 2 ? 7 ?? ? → ?0 1 ? ? ?0 4 ? 9 3 ?
② ×( ? )
1 9

,求

AB

。
? ① +③ ×3 ?1 0 0 × ?② +③?→?0 1 0 ? ?7 ? 1 ?0 0 9 ?

1 ? ?1 0 ? 3 1 0 0? ① +② ×3 ? ? 1 1 7 0? ?③ +② ×(?→?0 1 ? ? ? ? ? ?4 ) 3 9 9 ? ? 1 0 1? ?0 0 1 ? ? 9 ?

1 ? 0? 3 ? 1 1 0? ? ? 3 9 ? 1 4 1? ? 3 9 ? 0 ?

2? 2? ?1 2 ? 1 4 ?1 2 ? 1 4 ② +① ×( ?2 ) ?③ +① (×?→ ?0 ? 5 3 ? 7 ? 3? ?③ +② → ?0 ? 5 3 ? 7 ? 3? ? ? ?1) ? ? ? ? ? ? ?0 5 ? 3 7 ?0 0 3? 0 0 0? ? ? ? ?

1 2 1 3

1 3 4 9

解 因为

AB = A B

? 3? ?1 0 0 1 1 3? × 7 ? ?③?→ ?0 1 0 2 3 7 ? ?9 ? ? ? ? 1? ?0 0 1 3 4 9 ? ? ?

?1 2 ? 1 ? 3 ?? ? →?0 1 ? ? ?0 0 05 ?
1 ② ×( ? ) 5

4 7 5 0

1 ? ?1 0 5 2? ? 3 ? ① +② ×( ?2 ) 3 ?? ? ?→?0 1 ? 5? 5 ? ? 0? ?0 0 0 ? ?

6 5 7 5 0

4? 5? 3? ? 5? 0? ? ?

2 3 ?1 2 3 2 2 2 A = 1 1 1 = 1 1 2 = (?1)2+3(?1) =2 1 2 0 ?1 1 0 ?1 0
1 B = 1 0 2 1 1 3 2 1 = 1 0 0 2 - 1 1 3 - 1 1 = 0

所以

?1 1 3 ? A ?1 = ?2 3 7? ? ? ?3 4 9? ? ?
? ? 13 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 6 ? 2 1 ? 3 ? 1 1

由于秩( 解为: .
? ? ? ? ?

A )=2<n=4,所以原方程有无穷多解,其一般

(2)A =

所以

AB

=

A

B

=

2 × 0

=

0

4.设矩阵 .

?1 A = ?2 ? ?1 ?

2

λ
1

4 ? ,确定 1 ? ? 0 ? ?

λ的




1 4 1 0 7? ?? 13 ? 6 ? 3 1 0 0? ?1 ×7 ? 2 ? 1 0 1 0? ?① +③?→?? 4 ? 2 ? 1 0 1 0? ? ?? ? ? ? ?2 1 1 0 0 1? 1 1 0 0 1? ? 2 ? ? ?

4 1 6 ? ? x1 = 5 ? 5 x3 ? 5 x 4 (其中 x3,x 4 为自由未知 ? 3 3 7 ? x 2 = + x3 ? x 4 5 5 5 ?
量) 。 9.当

[AM I ] = ? ? 4 ?
② +① ×4 ③ +① ×( ?2)

λ 为何值时,线性方程组

值,使 r (A) 最小。 解 :

4 1 0 7 ? 4 1 0 7 ? ?1 1 ?1 1 ?? ? ?→?0 2 15 4 1 28 ? ?② +③ →?0 1 ? ? 8 2 1 15 ? ? ? ? ? ? ?0 ? 1 ? 7 ? 2 0 ? 13? ?0 ? 1 ? 7 ? 2 0 ? 13? ? ? ?

2 4? 2 4 ? ?1 2 4? ② +① ×( ?2 ) ?1 ?1 ?1) (② ③) A = ?2 λ 1 ? ?③ +① ×(?→ ?0 λ ? 4 ? 7? ??,?→ ?0 ? 1 ? 4? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 0 ? ?0 ? 1 ? 4? ?0 λ ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? ? ?

0? ?1 0 ? 4 ? 1 ? 1 ? 8? ① +③ ×4 ?1 0 0 ? 1 3 ① +② ×( ?1) ③ +② ?8 ) ?? ??→?0 1 8 2 1 15 ? ?② +③ ×(?→?0 1 0 2 ? 7 ? 1? ? ? ?? ? ? ? ?0 0 1 0 0 1 2? 1 2? ?0 0 1 ? ? ?

? x1 ? x 2 ? 5 x3 + 4 x 4 = 2 ? 2 x ? x + 3x ? x = 1 ? 1 2 3 4 ? ? 3 x1 ? 2 x 2 ? 2 x3 + 3 x 4 = 3 ? 7 x1 ? 5 x 2 ? 9 x 3 + 10 x 4 = λ ?
有解,并求一般解。 解:原方程的增广矩阵变形过程为:
?1 ? 1 ? 5 4 ?2 ? 1 3 ? 1 A=? ?3 ? 2 ? 2 3 ? ?7 ? 5 ? 9 10 2 ? ② +① × ( ?2 ) ?1 ? 1 ③ +① ×( ?3 ) 1 ? ④ +① × ( ?7 ) ?0 1 ? ?? ? ?→? ?0 1 3? ? ? λ? ?0 2 ?5 13 13 26 2 ? ?3 ? ? ?3 ? ? ? 18 λ ? 14? 4 ?9 ?9

所以

4 ? ?1 2 ?③ +② ×( ? ) →?0 ? 1 ? 4 ? ?? λ ?4 ? ? ? ? ?0 0 9 ? 4λ ? ?
所以当

0? ?? 1 3 ? 2 ? 7 ? 1? 。 A =? ? ?0 1 2? ? ?
?1

7. .设矩阵

?1 A=? ?3

2? ?1 ,B = ? 5? ? ?2

2 ? ,求解矩阵方 3? ?

λ=

9 时,秩 r ( A) 最小为 2。 4
的秩。
= ? ? ? ? ? ? 2 5 1 4 ? 5 ? 8 ? 7 ? 1 3 5 4 1 2 4 2 2 1 3 0 ? ? ? ? ? 3 ?



XA = B .

1 0? ② ×( ?1) ?1 2 1 0 ? ?1 2 1 0? ② +① ×( ?3) ?1 2 Q [AM I ] = ? ? ?? ? ?→ ?0 ? 1 ? 3 1? ?? ?→ ?0 1 3 ? 1? ?3 5 0 1 ? ? ? ? ?

5.求矩阵 .
A

?1 0 ? 5 2 ? ?① +② ×(?→ ? ? ? ?2 ) ? ?0 1 3 ? 1?


?1 ?0 ?? ? ?→? ?0 ? ?0
① +② ③ +② ×( ?1) ④ +② ×( ?2 )

0

8

?5

1 13 ? 9 0 0 0 0 0 0

?1 ? ?3 ? ? 0 ? ? λ ? 8?


?2 ? 5 3 2 ?5 ? 8 5 4 A=? ?1 ? 7 4 2 ? ?4 ? 1 1 2 1? ?1 ? 7 4 2 3? (①,③ ) ?5 ? 8 5 4 ? ?? ? →? ? ?2 ? 5 3 2 0? ? ? 3? ?4 ? 1 1 2

?? 5 2 ? ∴ A ?1 = ? ? ? 3 ? 1?
?1 2 ? ? ? 5 2 ? ? 1 0 ? X = BA ?1 = ? ?? ?=? ? ?2 3? ? 3 ? 1? ?? 1 1?
8.求解下列线性方程组的一般解: 求解下列线性方程组的一般解: 求解下列线性方程组的一般解 (1) ?

所以当

λ = 8 时,秩( A )=2<n=4,原方程有无穷多

0? ② +① ×( ?5) ③ +① ×( ?2 ) 3? ④ +① ×( ?4 ) ? ?? ? ?→ ? 1 ? 3?

解,其一般解为:

2 0? 2 0? ?1 ? 7 4 ?1 ? 7 4 ③② ×( ?3 ) ?0 27 ? 15 ? 6 3? ? ? 5 ? 2 1? ④ +② ×( ?3) (②,③ ? ? ???) ?0 9 ? ?? ??→ ?→ ?0 9 ?0 27 ? 15 ? 6 3? ? 5 ? 2 1? ? ? ? ? ?0 27 ? 15 ? 6 3? ?0 27 ? 15 ? 6 3?

+ 2 x3 ? x4 = 0 ? x1 ? x1 + x 2 ? 3 x 3 + 2 x 4 = 0 ? ?2 x ? x + 5 x ? 3x = 0 2 3 4 ? 1

? x1 = ?1 ? 8 x3 + 5 x 4 ? ? x 2 = ?3 ? 13x3 + 9 x 4
10. a , b 为何值时,方程组 有唯一解、无穷多

2 ?1 ? 7 4 ?0 9 ? 5 ? 2 ? ?0 0 0 0 ? 0 0 0 0 ?

0? 1? ? 0? ? 0?

所以秩 r ( A) =2

? 1 0 2 ?1? ?1 0 2 ?1? ?1 0 2 ?1? A = ??1 1 ?3 2 ? → ?0 1 ?1 1 ? → ?0 1 ?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 5 ?3? ?0 ?1 1 ?1? ?0 0 0 0 ? ? ? ? ? ?

所以,方程的一般解为

x1 ? x 2 ? x 3 = 1 ? ? ? x1 + x 2 ? 2 x 3 = 2 ? x ? 1 + 3 x 2 + ax 3 = b

6.求下列矩阵的逆矩阵: (1)
? 1 A = ?? 3 ? ? 1 ? ? 3 0 1

? x 1 = ? 2 x 3 + x 4 (其中 x1 , x 2 是自由未 ? ? x2 = x3 ? x4
知量)

解或无解。 解:原方程的增广矩阵变形过程为:
1 ? 1 ? ?1 ? 1 ? 1 1 ? ② +① ×( ?1) ?1 ? 1 ? 1 ?1 ? 1 ? 1 ?1) ?2) A = ?1 1 ? 2 2? ?③ +① ×(?→?0 2 ?1 1 ? ?③ +② ×(?→?0 2 ?1 1 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 3 ?0 4 a + 1 b ? 1? ?0 0 a + 3 b ? 3? a b? ? ? ? ? ? ?

2 ? 1 ? ? ? 1? ?




?1 ?1 ? ?3 0 1 1 0 0? 1 0 0? ?1 ? 3 2 ② +① ×3 ?1) 0 1 0? ?③ +① ×(?→?0 ? 9 7 3 1 0? ? ?? ? ? ?0 4 ? 3 ? 1 0 1? ? 1 0 0 1? ? ? ? 2 1

(2) ? 2 x 1 ? x 2 + x 3 + x 4 = 1 ? ? x1 + 2 x 2 ? x 3 + 4 x 4 = 2 ? x + 7 x ? 4 x + 11 x = 5 2 3 4 ? 1
?2 ? 1 1 1 1? ?1 2 ? 1 4 2 ? ① ? ? A = ?1 2 ? 1 4 2 ? ?(?,② ) →?2 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ?1 7 ? 4 11 5 ? ?1 7 ? 4 11 5? ? ? ? ?

讨 论 :( 1 ) 当 (

a ≠ ?3,b

为实数时,秩

A )=3=n=3,方程组有唯一解;
(2) a 当

[AM I ] = ?? 3 ?

= ?3,b = 3 时, A )=2<n=3, 秩(

方程组有无穷多解;

5

(3)当 (

a = ?3,b ≠ 3 时 , 秩 ( A )=3 ≠ 秩

得利润函数:



















L ( q ) = R ( q ) ? C ( q ) = 10 q ? 0 .02 q 2 ? 20


A )=2,方程组无解;
应用题 (1)设生产某种产品 q 个单位时的成本函数 ) 为: C ( q ) 元), 求:①当 q 际成本; ②当产量 q 为多少时,平均成本最??? 答案:

L ′(q ) = 10 ? 0.04q = 0 q = 250
唯一驻点

L ′( q ) = R ′(q ) ? C ′(q ) = 10 ? 0.02q
令 L ′( q )

= 0 得: q = 500 (件)

解得:

由实际问题可知,当产量为 500 件时利润最大; ②在最大利润产量的基础上再生产 50 件, 利润的增量 为:
2

= 100 + 0.25q 2 + 6q (万

所以,当产量为 250 件时,利润最大, 最大利润:

L(250) = 10 × 250 ? 0.02 × 250 ? 20 = 1230 (

= 10 时的总成本、平均成本和边

元)

?L = ∫ L′(q )dq = ∫ (10 ? 0.02q)dq = (10q ? 0.01q 2 )
500 500

550

550

550 = ?25 500

(元)

即利润将减少 25 元。





















(3)投产某产品的固定成本为 36(万元),且边 ) 际成本为 C ′( q )

C (q ) =

C (q ) 100 = + 0.25q + 6 (万元/单位) q q

= 2q + 40 (万元/百

边际成本为: C ′( q ) ∴ 当q

= 0.5q + 6

台).试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的 增量, 及产量为多少时, 可使平均成本达到最低. 解: 当产量由 4 百台增至 6 百台时, 总成本的增 量为 答案:①产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量为

= 10 时的总成本、平均成本和边际成本分

别为:

C (10) = 100 + 0.25 × 10 2 + 6 × 10 = 185(元)

6 6 6 ?C = ∫ C ′( x)dx = ∫ (2 x + 40) dx = ( x 2 + 40 x) = 100 4 4 4

C (10) =
(万元/单位)

100 + 0.25 × 10 + 6 = 18.5 10

(万元) ②成本函数为:
C ( x ) = ∫ C ′( x ) dx = ∫ ( 2 x + 40) dx = x 2 + 40 x + C 0

C ′(10) = 0.5 × 10 + 6 = 11(万元/单位)
②由平均成本函数求导得: C (q ) = ? 100 + 0.25 q2 令 C (q ) = 0 得 唯 一 驻 点

又固定成本为 36 万元,所以



C ( x) = x 2 + 40 x + 36 (万元)
平均成本函数为:



q1 = 20

(个) ,

C ( x) =

C ( x) 36 (万元/百台) = x + 40 + x x

q1 = ?20 (舍去)
由实际问题可知,当产量 q 为 20 个时,平均成本最 小。 (2).某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数 ) 为 C (q)

求平均成本函数的导数得:

′ 36 C ( x) = 1 ? 2 x
令 C ( x) 去) 由实际问题可知,当产量为 6 百台时,可使平均成本 达到最低。 , (4)已知某产品的边际成本 C ′( q ) =2(元/件) ) 固定成本为 0,边际收益



= 0 得驻点 x1 = 6 , x 2 = ?6 (舍

= 20 + 4q + 0.01q 2 (元) ,

单位销售价格为

p = 14 ? 0.01q (元/

件) ,问产量为多少时可使利润达到最大?最大 利润是多少. 答案:解:由 得收入函数

p = 14 ? 0.01q

R ′(q ) = 12 ? 0.02q ,求:
①产量为多少时利润最大? ②在最大利润产量的基础上再生产 50 件,利润 将会发生什么变化?

R (q) = pq = 14q ? 0.01q 2

6



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