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数据模型及决策考试复习资料

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数据模型及决策考试各类题型复习资料
(仅限参考)

一、建立线性数据模型
1、设某厂有甲、乙、丙、丁四台机床,生产 A、B、C、D、E、F 六种产品,每种产品 都要经过两种机床加工。 根据机床性能和以前的生产情况, 知道制造每一单位产品机床所需 工作时数,每台机床最大工作能力及每种产品的单价如表所示。 问在机床能力许可的条件下, 每种产品各应生产多少, 才能使这个工厂的生产总值达到最大?

解:设用 x1,x2,?,x6 分别表示 A,B,?,F 六种产品的生产件数,则得到如下的线性 规划模型: max z=0.4x1+0.28x2+0.32x3+0.72x4+0.64x5+0.6x6 S.t. 0.01x1+0.01x2+0.01x3+0.03x4+0.03x5+0.03x6≤850 0.02x1 +0.05x4 ≤700 0.02x2 +0.05x5 ≤100 0.03x3 +0.08x6≤900 xj≥0 , j=1,2, ? ,6 2、某饲料公司用甲、乙两种原料配制饲料,甲乙两种原料的营养成份及配合饲料中所 含各营养成份最低量由表 1 给出。已知单位甲、乙原料的价格分别为 10 元和 20 元,求满足 营养需要的饲料最小成本配方。

表1

甲、乙两原料营养成份含量及最低需要量 甲原料x 1 乙原料x 2 配合饲料的最 低含量

营养成分 (营养成分单位/原料 (营养成分单位/原料 单位) 单位) 钙 蛋白质 热量

1 3 1
1

1 1 6

10 15 15

解:设配合饲料中,用甲 x1 单位,用乙 x2 单位,则配合饲料的原料成本函数,即决策的目 标函数为 Z=10x1+20x2。 考虑三种营养含量限制条件后, 可得这一问题的线性规划模型如下: Min Z=10x1+20x2 x1+x2≥10 3x1+x2≥15 x1+6x2≥15 x1≥0 , x2≥0 3、某农户计划用 12 公顷耕地生产玉米,大豆和地瓜,可投入 48 个劳动日,资金 360 元。生产玉米 1 公顷,需 6 个劳动日,资金 36 元,可获净收入 200 元;生产 1 公顷大豆, 需 6 个劳动日,资金 24 元,可获净收入 150 元;生产 1 公顷地瓜需 2 个劳动日,资金 18 元,可获净收入 1200 元,问怎样安排才能使总的净收入最高。 解:设种玉米,大豆和地瓜的数量分别为 x1、x2 和 x3 公顷,根据问题建立线性规划问 题模型如下: Max Z=200 x1+150 x2+100 x3 x1+x2+x3≤12 6x1+6x2+2x3≤48 36x1+24x2+18x3≤360 x1≥0,x2≥0,x3≥0 4、某农户有耕地 20 公顷,可采用甲乙两种种植方式。甲种植方式每公顷需投资 280 元,每公顷投工 6 个,可获收入 1000 元,乙方式每公顷需投资 150 元,劳动 15 个工日,可 获收入 1200 元,该户共有可用资金 4200 元、240 个劳动工日。问如何安排甲乙两种方式的 生产,可使总收入最大? 解:设甲方式种 x1 公顷,乙方式种 x2 公顷,总收入为 Z,则有: Max Z=1000x1+1200x2 280x1+150x2≤4200 6x1+15x2≤240 x1+x2≤20 x1≥0,x2≥0 5、生产计划问题:某厂计划内将安排生产 I,II 两种产品,已知生产单位重量的产品所 需的设备为 A 及 B、C 两种原料的消耗如表 1 所示:
2

(1) (2) (3)

I 设备 A 材料 B 材料 C 1 6 0

II 2 0 5

总用量 8 24 15

表 5.1 生产设备和原料消耗表 生产单位重量的产品 I 可获利 2 万,生产单位重量的产品 II 可获利 5 万。 问:如何安排生产可使工厂获得的利润最多? 模型建立: 第一步,确定决策变量:要求的未知变量是 I,II 两种产品的产量,用 x 1 , x 2 分别表示它 们; 第二步,确定目标函数:本问题的目标是使工厂获得的利润 Z ? 2 x1 ? 5 x 2 最大; 第三步,确定约束条件:在这个问题中,约束条件是设备及材料的限制, 设备 A: x1 ? 2 x 2 ? 8 材料 A: 6 x1 ? 2 4 材料 B: 5 x 2 ? 1 5 则这一问题的线性规划模型为:
m a x Z ? 2 x1 ? 5 x 2

? x1 ? 2 x 2 ? 8 ? ? 6 x 1 ? 24 s.t. ? ? 5 x 2 ? 15 ? x ,x ? 0 ? 1 2

6、合理下料问题:某厂生产过程中需要用长度分别为 3.1 米、2.5 米和 1.7 米的同 种棒料毛坯分别为 200、100 和 300 根,而现在只有一种长度为 9 米的原料,问应如何下料 才能使废料最少? 解 解决下料问题的关键在于找出所有可能的下料方法(如果不能穷尽所有的方法, 也应

尽量多收集各种可能的下料方法),然后对这些方案进行最佳结合。 对给定的 9 米长的棒料进行分割,可以有 9 种切割方法,见表 5.2 所示。

3

表 5.2 毛坯切割方案表 设用第 i 种方法下料的总根数为 x i ,则用掉的总根数为 x1 ? x 2 ? ? ? x 9 废料总长度为:
0 .3 x1 ? 1 .1 x 2 ? 0 .9 x 3 ? 0 .8 x 5 ? 1 .5 x 6 ? 0 .6 x 7 ? 1 .4 x 8 ? 0 .5 x 9

约束条件为所需的零件毛坯数量:
2 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ? 2 0 0 x1 ? 2 x 3 ? x 4 ? 3 x 6 ? 2 x 7 ? x 8 ? 1 0 0 x 2 ? 2 x 4 ? 3 x5 ? 2 x 7 ? 3 x8 ? 5 x9 ? 3 0 0

由此可得该问题的线性规划模型如下:
m in Z ? 0 .3 x1 ? 1 .1 x 2 ? 0 .9 x 3 ? 0 .8 x 5 ? 1 .5 x 6 ? 0 .6 x 7 ? 1 .4 x 8 ? 0 .5 x 9

? 200 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ? ? x1 ? 2 x 3 ? x 4 ? 3 x 6 ? 2 x 7 ? x 8 ? 1 0 0 ? ? x 2 ? 2 x 4 ? 3 x5 ? 2 x 7 ? 3 x8 ? 5 x9 ? 3 0 0 ? x , x ,? , x ? 0 9 ? 1 2

由于用掉的总料长度为 2 0 0 ? 3 .1 ? 1 0 0 ? 2 .5 ? 3 0 0 ? 1 .7 ? 1 3 8 0 , 则有废料长度= 9 ? 用料根 数-1380。 7、合理配料问题:根据对 77 种食物所含的九种营养物:热量(糖与脂肪)、蛋白质、钙、 铁、维生素 A、维生素 BI、维生素 B2、草酸与维生素 C 的成份及食物的市场价格调查,按 照医生所提出的对每个人每天所需的营养要求,可得表 5.3

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表 5.3 食物营养成分表

问怎样采购食物才能在保证营养要求的前提下花费最???这就是营养问题或饮食问题, 配料问题就是由此而推广来的。 设每天购买甲,乙,丙,丁四种食物的数量分别为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 ,即可列出如下的线性规 划模型:
m in Z ? 0 .8 x1 ? 0 .5 x 2 ? 0 .9 x 3 ? 1 .5 x 4 (总花费最?。?br />
?1 0 0 0 x1 ? 1 5 0 0 x 2 ? 1 7 5 0 x 3 ? 3 2 5 0 x 4 ? 4 0 0 0 ? ? 0 .6 8 x 3 ? 0 .3 x 4 ? 1 ? 0 .6 x1 ? 0 .2 7 x 2 s .t . ? ? 30 x4 ? 30 ? 1 7 .5 x1 ? 7 .5 x 2 ? x1 , x 2 , x 3 , x 4 ? 0 ?

二、运输问题
例题 某公司经销甲产品。它下设三个加工厂。每日的产量分别是:A1 为 7 吨,A2 为 4 吨,A3 为 9 吨。该公司把这些产品分别运往四个销售点。各销售点每日销量为:B1 为 3 吨,B2 为 6 吨,B3 为 5 吨,B4 为 6 吨。已知从各工厂到各销售点的单位产品的运价为表 5-3 所示。问该公司应如何调运产品,在满足各销售点的需要量的前提下,使总运费为最少。 销售点 加工厂 A1 A2 A3 销 量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产 量 7 4 9

表 5-3 单位运价表 1. 启动程序,点击开始 ? 程序 ? WinQSB ? Network Modeling,屏幕显示如图 5-11 所示的网络模型工作界面。

图 5-11 网络模型的工作界面 2. 建立新问题或打开磁盘中已有的文件,按点击 File ? New Problem 或直接点击工具 栏的按钮 建立新问题,屏幕上出现如图 5-12 所示的问题选项输入界面。

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图 5-12 建立新运输问题 此处问题类型(Problem Type)共有 7 种: ⑴ Network Flow 网络流问题 ⑵ Transportation Problem 运输问题 ⑶ Assignment Problem 指派问题 ⑷ Shortest Path Problem 最短路问题 ⑸ Maximal Flow Problem 最大流问题 ⑹ Minimal Spanning Tree 最小支撑树问题 ⑺ Travel Salesman Problem 旅行销售员问题(中国邮递员问题) 输入运输问题在此处应当?、?Transportation Problem。 本例中有三个生产点 (Number of Sources)和四个销售点(Number of Destinations) ,也在此处输入。本例为求最小运费,所 以在 Objective Criterion 目标函数标准) ( 中选择 Minimization。 此外, 数据输入格式 Data Entry Format 可以选择电子表格模式 (Spreadsheet Matrix Form) 与图形模式 (Graphic Model Form) 。 3. 输入数据。 在选择数据输入格式时,选择 Spreadsheet Matrix Form 则以电子表格矩阵 形式输入单位运价系数矩阵和各地产量与销量,是固定格式,如表 5-4 所示。

表 5-4 电子表格矩阵形式输入数据 数据输入方法与其它规划问题输入数据时相同,请参看实验二的相应内容。另外,数据 输入后,如果需要修改、增减等处理,也可以实现,同样请参看实验二中的相关内容。 4. 求解模型。 点击菜单栏 Solve and Analyze,下拉菜单有四个选项: ① 直接求解(Solve the Problem) 、 ② 用网络图形式求解并显示求解步骤(Solve and Display Steps-Network) 、 ③ 用表上作业法求解并显示求解步骤(Solve and Display Steps-Tableau) ④ 选择求初始解的方法(Select Initial Solution Method) 。 本例可以先选择求初始解的方法,具体过程参看 5.4.2 相关内容??梢匝≡穹穸?br />6

(Vogel’s Approximation Method)来求解初始解。点击 OK 后,即可进入下面的计算过程。 以下可以选择①、②、③三种方法来求解这个运输问题的最优解。 (1)直接求最优解。选择 Solve the Problem 或直接点击工具栏上的 求解的综合报告如表 5-5 所示,表中的各项含义见常见术语表 5-9。 ,系统直接显示

表 5-5 最优解综合报告表 本例得到最小运费支出为 85,运输方案见表 5-5。 (2) 用网络图形式求解并显示求解步骤。 用网络图形式分步求解可以明确每一步的优化 结果。选择 Solve and Analyze ? Solve and Display Steps-Network,系统显示网络图形解题第 一步的求解结果,如图 5-13 所示。

图 5-13

Graphic Solution—Iteration 1 ,得到第二步的求解结果,如图

继续选择 Iteration ? Next Iteration 或点击工具栏 5-14 所示。

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图 5-14

Graphic Solution—Iteration 2

虽然只进行了两步运算, 但由于选择了伏格尔法寻找初始解, 第二步显示的结果已是最 终结果(Final)了,再次选择 Iteration ? Next Iteration 或点击工具栏 的求解结果,如表 5-3 所示。 ,即可得到表格式

(3)用表上作业法求解并显示求解步骤。点击 Solve and Analyze ? Solve and Display
Steps-Tableau,软件将用表上作业法求解问题。第一步得到如图 5-15 的结果。

图 5-15

Transportation Tableau —Iteration 1

这里得到了一个目标函数值 86,即运费,但它还不是最小运费,图 5-15 中显示了对
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运量的调整,即将 Source 2 运到 Destination 3 的运量 1 转运到 Destination 1,其周边运量也 相应调整,运费还能下降。继续选择 Iteration ? Next Iteration 或点击工具栏 步的求解结果,如图 5-16 所示。 ,得到第二

图 5-16

Transportation Tableau —Iteration 2

第二步显示的结果已是最终结果(Final)了,再次选择 Iteration ? Next Iteration 或点击 工具栏 ,即可得到表格式的求解结果,如表 5-5 所示。

至此,本运输问题求解完毕,最小运费为 85。 1. 用 WinQSB 软件求解下列运输问题的最优解: ① B1 3 2 4 3 B2 7 4 3 3 B3 6 3 8 2 B4 4 2 5 2 产 量 5 2 3

销售点 加工厂 A1 A2 A3 销 量 ② 销售点 加工厂 A1 A2 A3 A4 销 量 B1 10 2 1 8 4

B2 20 10 20 6 4

B3 5 8 7 3 6
9

B4 9 30 10 7 2

B5 10 6 4 5 4

产 5 6 2 9



※运输问题的解法表上作业法 一、解题步骤 第 1 步:用西北角法或最小元素法确定初始基本可行解。 第 2 步: 位势法求非基变量的检验数(解的最优性检验), 若最优准则σ ij≥0, 则当前解最优, 计算停止,否则转第 3 步。 第 3 步:取一个检验数最小的非基变量做进基变量。 第 4 步:用闭回路法调整当前基本可行解,转第 2 步 1. 确定初始基本可行解(初始调运方案) 例 某公司生产糖果,它有三个加工厂 A1,A2,A3,每月产量分别为 7t,6t,5t,6t。已知从第 i 个 加工厂到第 j 个销售店的每吨糖果的运价 Cij 见表, 试设计在满足各销售店需求量的前提下, 各加工厂到各销售店的每月调运方案,使总的运费最小。 运价表

A 西北角法 B 最小元素法 2.解的最优性判别(位势法,也称对偶变量法) 3.用闭回路法调整当前基可行解 二、表上作业法计算中的几个问题 1、某个基本可行解有几个非基变量的检验数为负 若运输问题的某个基可行解有几个非基变量的检验数均为负, 在继续进行迭代时, 取它 们中的任一变量均可使目标函数值得到改善,但通常取σ ij<0 中最小者对应的变量为换入变 量。 2、无穷多个最优解 当迭代到运输问题的最优解时,如果有某非基变量的检验数=0,则说明该运输问题有 无穷多最优解。 (如上例,为得到另一个最优解,只需让σ ij=0 的非基变量进基) 3、退化问题 当运输问题某部分产地的产量和与另一部分销地的销量和相等时, 在迭代过程中有可能 在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列,这时就出现了退化。 在运输问题中,退化解是时常发生的,为了使表上作业法的迭代工作进行下去,退化解 应在同时划去的一行或一列中的某个空格中填入数字 0,表示这个格中的变量是取值为 0 的 基变量,使迭代过程中基可行解的分量恰好为 m+n-1 个。 b.在用闭回路法调整当前基本可行解时, 调整量θ 的取值应为θ =min{xij/( i,j )为闭回路 上所有偶数号格点}。 这时可能出现有两个 (或以上) 偶数号格点的 xij 都相等且都为极小值, 只能取其中一个为离基格,其余的仍作为基格,而在作运输量调整时,运输量与θ 相等的那 些偶数号格点的 xij 都将调整为 0,因此得到的也是一个退化了的基可行解。 三、总销量大于总产量 例 1 某市有三个造纸厂 A1,A2,A3,其纸产量分别为 8,5,9 个单位,有 4 个集中用户 B1,B2,B3,B4,其需用量为 4,3,5,6 个单位,由各厂到各用户的单位运价如表所示,试确
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定总运费最小的调运方案。 例 2 较为复杂的产销不平衡问题 设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥, 假设每个地区使用各厂的化肥效果相同, 各化肥 厂的年产量, 各地区的需求量以及它们之间的单位运价如表, 求总运费最少的化肥调运方案。

分析: (1)这是一个产销不平衡的运输问题,总产量为 160 万吨,四个地区的最低需求为 110 万吨,最高需求为无限. 根 据 现 有 产 量 及 Ⅰ , Ⅱ , Ⅲ 地 区 的 最 低 需 求 , 第 Iv 个 地 区 每 年 最 多 能 分 配 到 (50+60+50)-(30+70+0)=60 万吨,这样四个地区的最高需求为 50+70+30+60=210 万吨, 大于总产量. (2)为了求得平衡,在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂 D,其年产量为 210-160=50 万吨. (3)由于各地区的需要量包含两部分,最低需求和额外需求。如地区Ⅰ,其中 30 万吨是 最低需求,故不能由假想化肥厂 D 供给,令相应运价为 M(任意大正数).而另一部分 20 万 吨满足或不满足均可以,因此可以由假想化肥厂 D 供给,按前面讲的,令相应运价为 0。这 样,凡是需求分两种情况的地区,实际上可按照两个地区看待.这样可以写出这个问题的产 销平衡表(表 3—26)和单位运价表(表 3—27). 产销平衡表

单位运价表

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两个表也可以合在一起写。 根据表上作业法计算,可以求得这个问题的最优方案如下:

应用举例 例 1 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10, 25, 台同一规格的柴油机. 15, 20 已 知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示. 又如果生产出来的柴油机当季 不交货的,每台每积压一个季度需储存、维护等费用 0.15 万元.要求在完成合同的情况下, 做出使该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小的决策.

解: 由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货,所以设 xij 为第 i 季度生产的用于第 j 季度交货的柴油机数. 根据合同要求,必须满足:

又每季度生产的用于当季和以后各季交货的柴油机数不可能超过该季度的生产能力, 故又有:

第 i 季度生产的用于 j 季度交货的每台柴油机的实际成本 Cij 应该是该季度单位成本加 上储存、维护等费用.Cij 的具体数值见表

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设用 ai 表示该厂第 i 季度的生产能力, 表示第 j 季度的合同供应量, bj 则问题可写成:

因为当 j<i 时,xij=0 所以当 j<i 时,取 Cij=M,M 为一个充分大的正数。 此外,由于是产量大于销量的不平衡问题,∴加上一个假想的需求 D,就可以把问题变成产 销平衡的运输模型,并写出产销平衡表和单位运价表(合在一起,如下)

经用表上作业法求解,可得多个最优方案,表 3—32 中列出最优方案之一.即第 1 季度生产 25 台,10 台当季交货,15 台Ⅱ季度交货;Ⅱ季度生产 5 台.用于Ⅲ季度交货;Ⅲ季度生产 30 台,其中 20 台于当季交货,10 台于Ⅳ季度交货Ⅳ季度生产 10 台,于当季交货.按此方 案生产,该厂总的生产(包括储存、维护)的费用为 773 万元.

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例 2 某航运公司承担六个港口城市 A、 C、 E、 的四条固定航线的物资运输任务. B、 D、 F 已 知(1)各条航线的起点、终点城市及每天航班数.(2)假定各条航线使用相同型号的船只,又 已知各城市间的航程天数.(3)又知每条船只每次装卸货的时间各需 1 天。问该航运公司至 少应配备多少条船,才能满足所有航线的运输需求? 每天航班数表

各城市之间的航程天数

解: 该公司所需配备船只分两部分:(1)载货航程需要的周转船只数。例如航线 l,在港口 E 装货 1 天,E—D 航程 l 7 天,在 D 卸货 1 天,总计 19 天.每天 3 航班,故该航线周转船 只需 57 条.各条航线周转所需船只数见表.以上累计共需周转船只数 91 条.

(2)各港口间调度所需船只数.有些港口每天到达船数多于需要船数.例如港口 D,每天到 达 3 条,需求 1 条;而有些港口到达数少于需求数,例如港口 B.各港口每天余缺船只数的 计算见表.

为使配备船只数最少,应做到周转的空船数为最少.因此建立以下运输问题,其产销平 衡表见表.

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单位运价表应为相应各港口之间的船只航程天数,见表

用表上作业法求出空船的最优调度方案见表

另一最优解为 xCA=1,xCE=1,xDB=1,xDE=1,xFE=1 按这两个方案掉运船只,解得 Z=40,说明各港口之间调度所需船只至少为 40 艘。 综合以上两方面的要求,在不考虑维修、储备等情况下,该公司至少配备 131 条船,才能满 足 4 条航线正常运输的需要。 练习题: 1、 求解下表所示的运输问题,分别用最小元素法、西北角法和伏格尔法给出初始基可 行解: B1 A1 A2 A3 需要量 (10) (16) (5) 5 B2 (6) (10) (4) 3 B3 (7) (5) (10) 4 B4 (12) (9) (10) 6 供应量 4 9 5 18

2、由产地 A1,A2 发向销地 B1,B2 的单位费用如下表,产地允许存贮,销地允许缺货,存 贮和缺货的单位运费也列入表中。求最优调运方案,使总费用最省。 B1 A1 A2 需要量 缺货费/件 8 6 200 2 B2 5 9 350 5 供应量 400 300 存贮费/件 3 4

3、对如下表的运输问题:

A X Y Z
需要量 100(6) 30(5) (2) 130
15

B
(4) 50(8) 60(7) 110

供应量 100 80 60 240

(1)若要总运费最少,该方案是否为最优方案? (2)若产地 Z 的供应量改为 100,求最优方案。 4、某利润最大的运输问题,其单位利润如下表所示: B1 A1 A2 A3 需要量 (6) (4) (2) 8 B2 (7) (5) (9) 6 B3 (5) (10) (7) 5 B4 (8) (8) (3) 5 供应量 8 9 7 24

(1)求最优运输方案,该最优方案有何特征? (2)当 A1 的供应量和 B3 的需求量各增加 2 时,结果又怎样? 5、某玩具公司分别生产三种新型玩具,每月可供量分别为 1000、2000、2000 件,它们 分别被送到甲、 乙、 丙三个百货商店销售。 已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为 1500 件,由于经营方面原因,各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。又知丙百货商店要求 至少供应 C 玩具 1000 件,而拒绝进 A 玩具。求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配 方案。 甲 乙 丙 可供量 A 5 4 - 1000 B 16 8 9 2000 C 12 10 11 2000 6、目前,城市大学能存贮 200 个文件在硬盘上,100 个文件在计算机存贮器上,300 个文件在磁带上。用户想存贮 300 个字处理文件,100 个源程序文件,100 个数据文件。每 月,一个典型的字处理文件被访问 8 次,一个典型的源程序文件被访问 4 次,一个典型的数 据文件被访问 2 次。 当某文件被访问时, 重新找到该文件所需的时间取决于文件类型和存贮 介质,如下表。 时 间(分钟) 处理文件 源程序文件 数据文件 硬盘 5 4 4 存贮器 2 1 1 磁带 10 8 6 如果目标是极小化每月用户访问所需文件所花的时间, 请构造一个运输问题的模型来决 定文件应该怎么存放并求解。 7、已知下列五名运动员各种姿势的游泳成绩(各为 50 米)如表 5-2:试用运输问题的 方法来决定如何从中选拔一个参加 200 混合泳的接力队,使预期比赛成绩为最好。 赵 仰 泳 蛙 泳 蝶 泳 自由泳 37.7 43.4 33.3 29.2 钱 32.9 33.1 28.5 26.4 张 33.8 42.2 38.9 29.6 王 37.0 34.7 30.4 28.5 周 35.4 41.8 33.6 31.1

8、求总运费最小的运输问题,其中某一步的运输图如下表。 B1 A1 A2 A3 需要量 3(3) 2(4) (5) a B2 (5) 4(2) 1(6) b B3 (7) (4) 5(3) c 供应量 3 6 d e

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(1)写出 a,b,c,d,e 的值,并求出最优运输方案; (2)A3 到 B1 的单位运费满足什么条件时,表中运输方案为最优方案。 9、 甲、乙两个煤矿分别生产煤 500 万吨,供应 A、B、C 三个电厂发电需要,各电厂 用量分别为 300、300、400 万吨。已知煤矿之间、煤矿与电厂之间以及各电厂之间相互距离 (单位:公里)如下列三个表所示。又煤可以直接运达,也可经转运抵达,试确定从煤矿到 各电厂间煤的最优调运方案(最小总吨公里数) 。 从 到 甲 乙 甲 0 120 乙 100 0 从 到 A B C 甲 150 120 80 乙 60 160 40 从 到 A B C A 0 50 100 B 70 0 150 C 100 120 0

三、指派问题
例题 有一份中文说明书,需译成英、日、德、俄四种文字。分别记作 E、J、G、R。 现有甲、乙、丙、丁四人。他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需时间如表 5-6 所 示。问应指派何人去完成何工作,使所需总时间为最少? 任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 表 5-6 1. 启动程序,点击开始 ? 程序 ? WinQSB ? Network Modeling,屏幕显示如图 5-11 所示的网络模型工作界面。 2. 建立新问题或打开磁盘中已有的文件,按点击 File ? New Problem 或直接点击工具 栏的按钮 建立新问题,屏幕上出现如图 5-17 所示的问题选项输入界面。 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9

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图 5-17

建立新指派问题

输入指派问题在此处应当选 Assignment Problem。本例中有四项任务(Number of Objects)和四个翻译(Number of Assignments) ,也在此处输入。本例为求最少翻译时间, 所以在 Objective Criterion(目标函数标准)中选择 Minimization。此外,数据输入格式 Data Entry Format 可以选择电子表格模式 (Spreadsheet Matrix Form) 与图形模式 (Graphic Model Form) 。 3. 输入数据。 在选择数据输入格式时,选择 Spreadsheet Matrix Form 则以电子表格矩阵 形式输入各人翻译成不同语种的说明书所需的时间,如表 5-7 所示。

表 5-7 4. 求解模型。

电子表格形式输入指派问题数据

点击菜单栏 Solve and Analyze,下拉菜单有四个选项: ① 直接求解(Solve the Problem) 、 ② 用网络图形式求解并显示求解步骤(Solve and Display Steps-Network) 、 ③ 用表上作业法求解并显示求解步骤(Solve and Display Steps-Tableau) ④ 选择求初始解的方法(Select Initial Solution Method) 。 以下可以选择①、②、③三种方法来求解这个运输问题的最优解。 (1)直接求最优解。选择 Solve the Problem 或直接点击工具栏上的 求解的综合报告如表 5-8 所示,表中的各项含义见常见术语表 5-9。 ,系统直接显示

表 5-8 指派问题最优解综合报告表 本例得到最少花费时间为 28,具体指派方案见表 5-8。 (2)用网络图形式求解并显示求解步骤。用网络图形式分步求解可以明确每一步的优 化结果。选择 Solve and Analyze ? Solve and Display Steps-Network,系统显示网络图形解题 第一步的求解结果,如图 5-18 所示。

18

图 5-18

Graphic Solution—Iteration 1 ,得到第二步的求解结果,如图

继续选择 Iteration ? Next Iteration 或点击工具栏 5-19 所示。

图 5-19

Graphic Solution—Iteration 2

此时,第二步显示的结果已是最终结果(Final)了,再次选择 Iteration ? Next Iteration 或点击工具栏 ,即可得到表格式的求解结果,如表 5-8 所示。

(3)用表上作业法求解并显示求解步骤。具体方法与运输例题基本一致,此处略。
2. 用 WinQSB 软件求解下列指派问题: ① 四个工人指派四项工作,下表为每人做各项工作所消耗的时间,问应如何分配, 才能使总的消耗时间为最少。 工种 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17

19

② 有 5 人去做 5 项工作,每人做各项工作的能力评分见下表。应如何分派,才能 使总的得分为最大? 业务 人员 A1 A2 A3 A4 A5 B1 1.3 0 1.0 0 1.0 B2 0.8 1.2 0 1.05 0.9 B3 0 1.3 0 0 0.6 B4 0 1.3 1.2 0.2 0 B5 1.0 0 0 1.4 1.1

※ 指派问题的匈牙利解法

1、把各行元素分别减去本行元素的最小值;然后在此基础上再把每列元素减去本列中的 最小值。
?4 ? ?7 ?6 ? ?6 ? ?6 8 7 9 17 9 12 7 14 9 12 15 12 ? ?0 3 ? ? 14 10 ? ?0 1 8 7 ? ? ?0 2 ? ? 6 10 ? ?0 0 ? ? 10 6 ? ?0 2 0 11 8 ? ? 7 7 3? 3 2 1? ? 5 0 4? ? 3 4 0?

此时每行及每列中肯定都有 0 元素了。 2、 确定独立零元素,并作标记。 (1) 、首先逐行判断是否有含有独立 0 元素的行,如果有,则按行继续处理;如没有, 则要逐列判断是否有含有独立 0 元素的列,若有,则按列继续处理。若既没有含有独立 0 元素的行,也没有含有独立 0 元素的列,则仍然按行继续处理。 (2)在按行处理时,若某行有独立 0 元素,把该 0 元素标记为 a,把该 0 所在的列中的 其余 0 元素标记为 b;否则,暂时越过本行,处理后面的行。把所有含有独立 0 元素的 行处理完毕后, 再回来处理含有 2 个以及 2 个以上的 0 元素的行: 任选一个 0 做 a 标记, 再把该 0 所在行中的其余 0 元素及所在列中的其余 0 元素都标记为 b。 (3)在按列处理时,若某列有独立 0 元素,把该 0 元素标记为 a,把该 0 所在的行中的 其余 0 元素标记为 b;否则,暂时越过本列,处理后面的列。把所有含有独立 0 元素的 列处理完毕后, 再回来处理含有 2 个以及 2 个以上的 0 元素的列: 任选一个 0 做 a 标记, 再把该 0 所在列中的其余 0 元素及所在行中的其余 0 元素都标记为 b。 (4) 、重复上述过程,即得到独立零元素(标记 a 的“0” )

? 0b ? ? 0a ? 0 ? b ? 0b ? ? 0b

3 0 a 11 1 7 7 2 0b 4

2 3 0a 5 2 3

8 ? ? 3 ? ? 1 ? 4 ? ? 0a ?

3、 若独立零元素等于矩阵阶数,则已经得到最优解,若小于矩阵阶数,则继续以下步骤: (1) 、对没有标记 a 的行作标记 c
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(2) 、在已作标记 c 的行中,对标记 b 所在列作标记 c (3) 、在已作标记 c 的列中,对标记 a 所在的行作标记 c (4) 、对没有标记 c 的行划线,对有标记 c 的列划线

? ? ? ? ? ? ? ?

0 0

/

3 1 2 0 2

0 7 3 5 3

11 7 2 0

/ 0 / 0 /
0

/

4

8 ? ? 3? \/ ? 1 ? \/ 4 ? ? 0 ?

4、 在未被直线覆盖的所有元素中找出一个最小元素(Xmin) ,未被直线覆盖的行(或列) 中所有元素都减去这个数。 (注:若未被直线覆盖部分是行数<列数,则是按行减,反之 则按列) 。
? 0 ? ??1 ??1 ? ? 0 ? ? 0 3 0 1 0 2 0 6 2 5 3 11 6 1 0 4 8? ? 2? 0? ? 4? ? 0?

\/

5、 这样必然出现负元素, 所以对负元素所在列 (或行) 中各元素都加上这一最小元素 (Xmin) 以消除负数。这样,再返回步骤 2,确定独立零元素个数。 重复上述操作,直到找出最优解。
?0 ? / ?0 ? 0 ? ?1 ? ? ?1 3 0 11 0 6 1 2 6 1 8? ? 2? ? 0 / ? 4 ? ? ? 0 ?

0 5 0 / 2 3 4

特殊问题: 1、 若人数和工作数不等,则用“0”来补全空位 2、 若一个人可作几件事,则可化为相同的“几个人”来接受指派,费用系数相同。 /
/ / 练习题: 1、用匈牙利法求解如下效率矩阵的指派问题 7 9 10 12 13 12 16 17 15 16 14 15 11 12 15 16

2、分配甲、乙、丙、丁四人去完成五项任务。每人完成各项任务时间如下表所示。由于 任务数多于人数,故规定其中有一个人可兼完成两项任务,其余三人每人完成一项。试确定
21

总花费时间为最少的指派方案。 人 任务 A 甲 25 乙 39 丙 34 丁 24

B 29 38 27 42

C 31 26 28 36

D 42 20 40 23

E 37 33 32 45

3、已知下列五人各种姿势的游泳成绩(各为 50 米) ,试问如何进行指派,从中选拔一个 参加 200 米混合泳的接力队,使预期比赛成绩为最好。 赵 仰 蛙 蝶 泳 泳 泳 37.7 43.4 33.3 29.2 钱 32.9 33.1 28.5 26.4 张 33.8 42.2 38.9 29.6 王 37.0 34.7 30.4 28.5 周 35.4 41.8 33.6 31.1

自由泳

四、最大流问题
例题:设容量网络 D 具有二个供应量皆为 20(吨)的发点 s1 与 s2,具有二个需求量分别为 15、20 的收点 n1 与 n2。其上的容量函数如图 7 所示;试求 D 的最大流网络。

图 7 具有二个发点和二个收点容量网络 D 解: (1) 增设一个总发点 s,并置 cs,s1=20,cs,s2=20;同时增设一个总收点 n,并置 cn1,n=15, Cn2,n=20。把 D 化为一个只有一个发点和一个收点的标准容量网络 D1,如图 8 所示。

22

图 8 化 D 为标准容量网络 D1 (1) 接下来的求解过程, 与求解例 1 的过程完全相同。 需要注意的是, 这时在 Number of Nodes 栏中填上 10。根据容量网络图 8 输入每条弧的容量数据,如图 9 所示。 点击工具栏上的“Solve and Analyze\ Solev of Problem” ,在如图 10 的对话框中点击 “Solve” ,即得结果,见图 11。

图 9 例 2 的数据输入框

图 10 选择起始点的对话框

图 11 例 2 的计算结果

据此,我们可归结得到本容量网络离散的最大流量函数 f*(E) :
f (s, s 1 ) ? 20 , f ( s , s 2 ) ? 15 , f ( s 1 ,1) ? 10 , f ( s 1 , 2 ) ? 10 , f ( s 2 , 2 ) ? 5, f ( s 2 , 3 ) ? 5
* * * * * *

f (s 2 ,4) ? 5, f (1, n 1 ) ? 10 , f ( 2 , 3 ) ? 5, f ( 2 , n 1 ) ? 10 , f ( 3 , 4 ) ? 5, f ( 3 , n 2 ) ? 10
* * * * * *

f ( 4 , n 2 ) ? 10 , f ( n 1 , 3 ) ? 5, f ( n 1 , n ) ? 15 , f ( n 2 , n ) ? 20
* * * *

而对表内未列入的弧上的流量皆取为零,本例是以下弧上的流量为零:
f ( s 2 , 2 ) ? f ( 2 , n 1 ) ? f ( n 1 ,3 ) ? f ( 3 , 4 ) ? 0 。
* * * *

计算结果表同时指出:本例的最大总流量 W(f*)=35。至此,我们得所求之最大流网络(图 12) :

23

图 12 非标准容量网络最大流 f* 练习题: 9.1 十名学生参加六门课程的考试。由于选修内容不同,考试门数也不一样。下表给出 了每个学生应参加考试的课程(打⊙的) : 学生 考试课程 A B C D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙

⊙ ⊙

规定考试在三天内结束,每天上下午各安排一门。学生希望每人每天最多考一门,又课 程 A 必须安排在第一天上午考,课程 F 安排在最后一门,课程 B 只能安排在下午考,试列 出一张满足各方面要求的考试日程表。 9.3 下图表示某生产队的水稻田,用堤埂分割为很多小块。为了用水灌溉,需要挖开一 些堤埂。问最少挖开多少堤埂,才能使水浇灌到每小块稻田。

24

9.8 用标号法求下图所示的最大流问题,弧上数字为容量和初始可行流量: v1 (8,8) vs (7,4) (3,1) v3 (8,6) (3,0) (2,2) (5,5) (9,6) v4 vt

(3,3) (9,4) v2

9.10 如下图,从三口油井 1、2、3 经管道将油输至脱水处理厂 7 和 8,中间经 4、5、6 三个泵站。已知图中弧旁数字为各管道通过的最大能力(吨/小时) ,求从油井每小时能输送 到处理厂的最大流量。 1 7 20 4 10 10 2 10 6 50 50 20 30 20 20 3 5 30 8 15 9.11 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人,有 5 人应聘。已知乙懂俄文, 甲、乙、丙、丁懂英文,甲、丙、丁懂日文,乙、戊懂德文,戊懂法文,问这 5 个人是否都 能得到聘书?最多几个得到招聘,招聘后每人从事哪一方面翻译任务? 9.12. 下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价表。将此问题转化为最小费用最大 流问题,画出网络图并求数值解。 产地 销地 1 2 3 产 量 A 20 24 5 8 B 30 22 20 7 销 量 4 5 6

五、最短路问题
例题: 6 个城市 v1 , v 2 , ? , v 6 之间的一个公路网(图 1)每条公路为图中的边,边上的权数 设 表示该段公路的长度(单位:百公里),设你处在城市 v 1 ,那么从 v 1 到 v 6 应选择哪一路径使你的 费用最省。

25

解:首先设每百公里所用费用相同,求 v 1 到 v 6 的费用最少,既求 v 1 到 v 6 的最短路线。为了方便 计算,先作出该网络的距离矩阵,如下:
? ? v ? 1 ?v2 ? L ? ? v3 ?v 4 ? ? v5 ?v ? 6 v1 0 5 2 ? ? ? v2 5 0 1 5 9 ? v3 2 1 0 8 10 ? v4 ? 5 8 0 2 5 v5 ? 9 10 2 0 2
?

v6 ? ? ? ? ?? ? ?? 5? ? 2? 0? ?

(0)设 W ? v1 ? ? 0 , T ? v ? ? ? , v j ? s ? ? v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 ? , (1)第一次迭代 ①计算 T ? v j ? , j ? 2 , 3, 4 , 5, 6 如下
T ? v 2 ? ? m in ? T ? v 2 ? , W T ? v 3 ? ? m in ? T ? v 3 ? , W T ? v 4 ? ? m in ? T ? v 4 ? , W T ? v5 ? ? ? , T ? v6 ? ? ?

? v1 ? ? w 1 2 ? ? ? v1 ? ? w 1 3 ? ? ? v1 ? ? w 1 4 ? ?

m in ? ? , 0 ? 5 ? ? 5 m in ? ? , 0 ? 2 ? ? 2 m in ? ? , 0 ? ? ? ? ?

②取 m in ? T ? v j ?? ? 2 ? T ? v 3 ? ,令 W ? v 3 ? ? T ? v 3 ? ? 2
v j?s

③由于 k ? 3 ? ? n ? 6 ? ,令 s ? ? v 2 , v 4 , v 5 , v 6 ? , i ? 3 转(1) 第二次迭代: ①算 T ? v j ? , j ? 2 , 4 , 5, 6 如下
T ? v 2 ? ? m in ? T ? v 2 ? , W

?

? v3 ? ? w 23 ? ?

m in ? 5, 2 ? 1? ? 3

26

T ? v 4 ? ? m in ? T ? v 4 ? , W T ? v 5 ? ? m in ? T ? v 5 ? , W T ? v 6 ? ? m in ? T ? v 6 ? , W

? v3 ? ? w34 ? ? ? v3 ? ? w35 ? ? ? v3 ? ? w36 ? ?

m in ? 8, 2 ? 8 ? ? 8 m in ?1 0, 2 ? 1 0 ? ? 1 0 m in ? ? , 2 ? ? ? ? ?

②取 m in ? T ? v j ?? ? 3 ? T ? v 2 ? 令 W ? v 2 ? ? T ? v 2 ? ? 3
?

v j?s

③由于 k ? 2 ? ? n ? 6 ? ,令 s ? ? v 4 , v 5 , v 6 ? i ? 2 转(1) 第三次迭代: ①算 T ? v j ? , j ? 4 , 5, 6 如下
T ? v 4 ? ? m in ? T ? v 4 ? , W T ? v 5 ? ? m in ? T ? v 5 ? , W T ? v6 ? ? ?

?

? v 2 ? ? w 24 ? ? ? v 2 ? ? w 25 ? ?

m in ? 8, 3 ? 5 ? ? 8 m in ?1 0, 3 ? 9 ? ? 1 0

②取 m in ? T ? v j ?? ? 8 ? T ? v 4 ? , W ? v 4 ? ? T ? v 4 ? ? 8
?

v j?s

③由于 k ? 4 ? ? n ? 6 ? ,令 s ? ? v 5 , v 6 ? i ? 4 转(1) 第四次迭代: ①算 T ? v j ? , j ? 5, 6 如下
T ? v 5 ? ? m in ? T ? v 5 ? , W T ? v 6 ? ? m in ? T ? v 6 ? , W

?

? v 4 ? ? w 45 ? ? ? v 4 ? ? w 46 ? ?

m in ?1 0, 2 ? 8 ? ? 1 0 m in ? ? , 8 ? 5 ? ? 1 3

②取 m in ? T ? v j ?? ? 1 0 ? T ? v 5 ? , W ? v 5 ? ? T ? v 5 ? ? 1 0
?

v j?s

③由于 k ? 5 ? ? n ? 6 ? ,令 s ? ? v 6 ? 转(1) 第五次迭代: ①算 T ? v j ? , j ? 6 如下
T ? v 6 ? ? m in ? T ? v 6 ? , W

?

? v5 ? ? w56 ? ?

m in ?1 3,1 0 ? 2 ? ? 1 2

②由于 k ? 6 ? n 。因此已找到 v 1 到 v 6 的最短距离为 12。计算结束。 找最短路线:逆向追踪得 v1 ? v 3 ? v 2 ? v 4 ? v 5 ? v 6
27

最短距离为 12,即从城市 v 1 到城市 v 6 的距离最短,即费用最省。 练习题: 9.5 用 Dijkstra 标号法求下图中始点到各顶点的最短路,弧上数字为距离: v3 3 v5 1 v1 4 v2 2 v4 9.9 已知有 6 个村子,相互间道路的距离如下图所示,拟合建一所小学。已知 A 处有小 学生 50 人,B 处 40 人,C 处 60 人,D 处 20 人,E 处 70 人,F 处 90 人,问小学应建在哪 一个村子,使学生上学最方便(走的总路程最短) 。 B· 6 ·D 2 8 6 A· 4 1 ·F 7 1 3 C · 3 ·E 9.6 最短路问题: 某公司使用一种设备, 此设备在一定年限内随着时间的推移逐渐损坏。 每年购买价格和不同年限的维修使用费如下表所示。假定公司在第一年开始时必须购买一 台此设备,请建立此问题的网络图,确定设备更新方案,使维修费和新设备购置费的总数 最小。说明解决思路和方法,不必求解。 2 5 4

年份 价格

1 20

2 21

3 23

4 24

5 26

使用年限 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 费用 8 13 19 23 30 9.4. 请用标号法求下图所示的最短路问题,弧上数字为距离: 2 1 1 3 3 1 5 2 3 6 4 5 1 4 7 6

六、最小支撑树问题
最小支撑树的生成方法 避圈法:在图中取一条最小权的边,以后每一步中,总从未被选取的边中选一条权最小 的边,并使之与已选取的边不构成圈(每一步中,如果有两条或两条以上的边都是最小权的 边,则从中任选一条) 。 破圈法:任取一个圈,从圈中去掉一条权最大的边(如果有两条或两条以上的边都是权 最大的边,则任意去掉其中一条) 。在余下的图中,重复这个步骤,直到得到一个不含圈的 图为止,这时的图便是最小树。
28

七、不 9.2 求下图的最小生成树和最大生成树: V1 6 V6 8 V5 7 3 1 6 V7 4 V4 6 2 3 3 V2 2 V3

七、确定型决策问题
1、某工厂为增加生产,有两方案可?。阂吆拖钟猩璞父赂脑?。据预测,引 进生产线需一次投资 150 万元,更新改造需一次投资 50 万元。又对未来市场进行预测,在 未来 3 年内,产品畅销的概率为 0.6;产品销路不好的概率为 0.4。若引进生产线,产品畅 销时,每年可获利 100 万元;产品销路不好时,每年可获利 10 万元。若对现有设备进行更 新改造,产品畅销时,每年可获利 80 万元;产品销路不好时,每年可获利 30 万元,问该企 业应选择哪个方案。 2、根据下表资料,用乐观法、悲观法、后悔值法进行决策。

X V
第一方案 X1 第二方案 X2 第三方案 X3 高需求 Y1 20 9 4

状态变量 中需求 Y2 1 8 4 低需求 Y3 -6 0 4

Y

3、某企业生产一种产品,市场预测结果表明有三种可能:销路好,销路一般,销路差。备 选取方案三个,一是扩建,二是技术改造,三是维持现状。各方案在不同自然状态下的损益 值如下表。 1.选用乐观决策法、悲观决策法、最小后悔值法、等概率法进行决策。 2.若已知销路好的概率为 0.5,销路一般为 0.3,销路差为 0.2,试用期望值法、决策树 法决策。 方案 销路好 A:扩 建 200 150 90
29

损益值 销路一般 90 80 40 销路差 -70 -50 -20

B:技术改造 C:维持现状

3、 某决策问题,其决策信息如下表 效益(万元) 状 态

N1
50 30 10

N2
20 25 10

N3
-20 -10 10

方 案

S1 S2 S3

(1)用悲观主义决策标准求最佳方案; (2)用乐观主义决策准则求最佳方案; (3)用等可能性决策准则求最佳方案; (4)令乐观系数 α=0.4,用折衷主义决策准则求最佳方案; (5)用后悔值准则求最佳方案。 4、某厂自产自销一种产品,每箱成本 30 元,售价 80 元,但当天卖不掉的产品要报废。 该厂去年 90 天中的日销售量记录表明,有 18 天售出 100 箱,有 36 天售出 110 箱,有 27 天售出 120 箱,有 9 天售出 130 箱。问该厂今年每天应当生产多少箱可获利最大。 5、 某地方书店希望订购最新出版的好的图书。 根据以往经验, 新书的销售量可能为 50, 100,150 或 200 本。假定每本新书的订购价为 4 元,销售价为 6 元,剩书的处理价为每本 2 元。要求: (a)建立损益矩阵; (b)分别用悲观法、乐观法及等可能法决定该书店应订购的新书数字; (c)建立后悔矩阵,并用后悔值法决定书店应订购的新书数。

八、风险性决策问题(决策树)
例题:设某厂进行生产能力决策。根据市场预测可能有好、中、坏三种自然状态,市场 形势好,年销售量可达10万件,市场形势中等时,年销售量可达8万件,市场形势差时, 年销售量只有5万件,其概率分别为 0.3,0.5,0.2 ,与之相对应,生产能力可有年产1 0万,8万,5万件三种方案。年产10万件时,单件成本为6元,但如果卖不出去,则未 卖出的产品就积压报废,其成本由已销产品承担。年产8万件时,单件成本为7元,年产5 万件时,因规模更小,成本增大,每件为8元,单价预计为10元。 试问:应当选择何种方案? 解:第一步:计算各种生产方案在不同自然状态下的条件损益值 方案1,年产10万件,其条件损益值: 好:10×10-10×6=40 万元 中:8×10-10×6=20 万元 差:5×10-10×6=-10 万元 方案2,年产8万件,其条件损益值: 好和中:8×10-8×7=24 万元 差:5×10-8×7=-6 万元
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方案3,年产5万件,其条件损益值: 好中和差:5×10-5×8=10 万元 第二步:评价各种生产方案的损益期望值 方案1,EVM=0.3×40+0.5×20+0.2×(-10)=20 万元 方案2,EVM=0.3×24+0.5×24+0.2× (-6)=18 万元 方案3,EVM=0.3×10+0.5×10+0.2×10=10 万元 显然,通过比较,方案1的期望值20万元,最大,应该选择1 第三步:画决策树

1、某活动分两阶段进行。第一阶段,参加者需要先支付 20 元,然后从含 40%白球和 60%黑球的箱子中任摸一球,并决定是否继续第二阶段。如继续需再付 20 元,根据第一阶 段摸到的球的颜色在相同颜色箱子中再摸一球。已知白色箱子中含 80%蓝球和 20%绿球, 黑色箱子中含 15%的蓝球和 85%的绿球。当第二阶段摸到为蓝色球时。参加者可得奖 100 元, 如果摸到的是绿球或不参加第二阶段游戏的均无所得。 试用决策树法确定参加者的最优 策略。 2、某决策问题,其决策信息如下表: 效益(万元) 方 案 状 态

N1
50 30 10

N2
20 25 10

N3
-20 -10 10

S1 S2 S3

根据有关资料预测各状态发生的概率依次为 0.3,0.4,0.3,请用决策树法求解此问题。 3、 某一新产品准备投产,预计产品寿命周期为 5 年,现有两种方案建厂投产:一是建 大厂,二是建小厂,相应的年盈利状况和初始投资额如下表所示(万元)。前 2 年销路好的概 率为 0.7。若前 2 年销路好,则后 3 年销路好的概率为 0.9,销路不好的概率为 0.1;若前 2 年销路差,则后 3 年销路肯定差。 试用决策树法选择最佳建厂方案。 销路好 建大厂 建小厂 100 50 销路差 -15 20 初始投资额 40 25

4、某开发公司准备为一企业承包新产品的研制与开发任务,但是为得到合同必须参加 投标。已知投标的准备费用为 40000 元,能够得到合同的可能性是 40%。如果得不到合同, 准备费用得不到补偿。如果得到合同,可采用两种方法进行研制开发:方法 1 成功的可能性 为 80%,费用为 260000 元;方法 2 成功的可能性为 50%,费用为 160000 元。如果研制开 发成功,按合同开发公司可得到 600000 元,如果得到合同但没有研制开发成功,则开发公
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司需要赔偿 100000 元。问题是: (1)是否参加投标?(2)如果中标了,采用那种方法研制 开发? 5、设有某石油钻探队,在一片估计能出油的荒地钻探??梢韵茸龅卣鹗匝?,然后决定 钻探与否?;虿蛔龅卣鹗匝?,只凭经验决定钻井与否。做地震试验的费用每次 3000 元,钻 井费用为 10000 元。若钻井后出油,可收入 40000 元;若不出油,就没有收入。各种情况下 估计出油的概率为:试验好的概率 0.6,并钻井后出油的概率 0.85;试验不好的概率 0.4,并 钻井后出油的概率 0.10; 不试验而直接钻井后出油的概率 0.55; 钻探队如何决策使收入的期 望值最大。 6、某工程队承担一座桥梁的施工任务。由于施工地区夏季多雨,需要停工三个月。在 停工期间该工程队可将施工机械移走或留在原处。如移走,需要费用 1800 元。如留在原处, 一种方案是花 500 元建筑一护提,防止河水上涨而损坏机械。如不筑护提,发生河水上涨而 损坏机械将损失 10000 元。如下暴雨,将发生洪水,不管是否筑护提,施工机械留在原处都 将损失 60000 元。根据历史资料,该地区发生河水上涨的概率为 25%,发生洪水的概率为 2%,试为该施工队进行最优决策。 7、某公司有 50000 元多余资金,如用于某项事业开发,估计成功概率为 0.96,成功后 一年可以获利 12%,但是一旦失败,有损失全部资金的风险。如把资金存放到银行,则可 以稳得年利 6%。为获得更多回报,该公司求助于咨询服务,咨询费用为 500 元,但咨询意 见仅供参考。过去咨询公司类似的 200 例咨询意见实施结果如下表: 咨询意见\实施结果 可以投资 不宜投资 合计 投资成功/次 154 38 192 投资失败/次 2 6 8 合计/次 156 38 200

试用决策树法分析: 1) 该公司是否值得求助于咨询服务; 2) 该公司多余资金应如何合理使用? 6、某水果店以每千克 1.2 元的价格购进每筐重 100 千克的香蕉。第一天以每千克 2 元 的价格出售,当天销售余下的香蕉再以平均每千克 0.8 元的处理价出售。需求情况(以筐为 单位)见下表: 需求量 概 率 1 0.10 2 0.15 3 0.25 4 0.25 5 0.15 6 0.05 7 0.05

为获取最大利润,该店每天应购进多少筐香蕉?

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